KONVEKSNI POLIGON: DEFINICIJA, ELEMENTI, LASTNOSTI, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Konveksni mnogokotnik je geometrična figura vsebovana v ravnini, ki je značilna zato, ker ima vse svoje diagonale v svoji notranjosti in njegovi koti merijo manj kot 180 °. Med njegovimi lastnostmi so naslednje:

1) Sestavljen je iz n zaporednih segmentov, kjer se zadnji od segmentov pridruži prvi. 2) Noben odsek se ne seka tako, da razmeji ravnino v notranjem in zunanjem območju. 3) Vsak kot v notranjosti je strogo manjši od ravnega kota.

Slika 1. Poligoni 1, 2 in 6 so konveksni. (Pripravil Ricardo Pérez).

Preprost način za določitev, ali je mnogokotnik izbočen ali ne, je upoštevanje črte, ki poteka skozi eno od njegovih strani, ki določa dve polovici ravnine. Če so v vsaki vrstici, ki poteka skozi eno stran, druge strani poligona v isti polovici ravnine, potem je to konveksni mnogokotnik.

Elementi poligona

Vsak poligon je sestavljen iz naslednjih elementov:

- Strani

- Vertices

Strani sta vsak od zaporednih segmentov, ki sestavljajo poligon. V mnogokotniku noben od segmentov, ki ga sestavljajo, ne more imeti odprtega konca, v tem primeru bi obstajala mnogokotnica, ne pa tudi poligon.

Vrhovi so stičišča dveh zaporednih segmentov. V poligonu je število tock vedno enako številu strani.

Če se dve strani ali segmenti poligona sekajo, potem imate prekrižen mnogokotnik. Mejna točka se ne šteje za točko. Križni poligon je nekonveksni mnogokotnik. Zvezdni poligoni so križni poligoni in zato niso konveksni.

Kadar ima poligon vse svoje strani enake dolžine, imamo navaden poligon. Vsi pravilni mnogokotniki so izbočeni.

Konveksni in nekonveksni mnogokotniki

Slika 1 prikazuje več mnogokotnikov, nekateri so konveksni, nekateri pa ne. Analizirajmo jih:

Številka 1 je tristranski mnogokotnik (trikotnik) in vsi notranji koti so manjši od 180 °, torej gre za izbočen mnogokotnik. Vsi trikotniki so konveksni mnogokotniki.

Številka 2 je štiristranski mnogokotnik (štirikotnik), kjer se nobena stran ne seka in je vsak notranji kot manjši od 180 °. Nato je konveksni mnogokotnik s štirimi stranicami (konveksni štirikotnik).

Številka 3 je poligon s štirimi stranicami, vendar je eden od njegovih notranjih kotov večji od 180 °, tako da ne izpolnjuje pogoja konveksnosti. Se pravi, da gre za nekonveksni štiristranski mnogokotnik, ki se imenuje konkavni štirikotnik.

Številka 4 je mnogokotnik s štirimi segmenti (stranicami), od katerih se dva sekata. Štirje notranji koti so manjši od 180 °, a ker se obe strani sekata, je to nekonveksan prekrižen mnogokotnik (prekrižen štirikotnik).

Drugi primer je številka 5. To je poligon s petimi stranicami, a ker je eden od njegovih notranjih kotov večji od 180 °, imamo potem konkaven mnogokotnik.

Končno ima število 6, ki ima tudi pet strani, vse svoje notranje kote manjše od 180 °, tako da je konveksni mnogokotnik s petimi stranicami (konveksni peterokotnik).

Lastnosti konveksnega mnogokotnika

1- Nepokrižen mnogokotnik ali preprost mnogokotnik deli ravnino, ki jo vsebuje, na dve regiji. Notranja in zunanja regija, poligon je meja med obema regijama.

Če pa je poligon dodatno izbočen, potem imamo notranjo območje, ki je preprosto povezano, kar pomeni, da če vzamemo katero koli točko iz notranje regije, se ji lahko vedno pridruži segment, ki v celoti pripada notranji regiji.

Slika 2. Konveksni mnogokotnik je preprosto povezan, konkavni pa ne. (Pripravil Ricardo Pérez).

2- Vsak notranji kot konveksnega mnogokotnika je manjši od ravnega kota (180 °).

3 - Vse notranje točke konveksnega mnogokotnika vedno pripadajo eni od pol ravnin, določenih s črto, ki poteka skozi dve zaporedni točki.

4- V konveksnem mnogokotniku so vse diagonale v notranjosti mnogokotnega območja.

5- Notranje točke konveksnega mnogokotnika v celoti pripadajo izbočenemu kotnemu sektorju, ki ga določa vsak notranji kot.

6- Vsak mnogokotnik, v katerem so vse njegove vrhove, je konveksni mnogokotnik, ki se imenuje ciklični mnogokotnik.

7- Vsak ciklični mnogokotnik je izbočen, ni pa vsak konveksni mnogokotnik cikličen.

8- Vsak neprerezan poligon (preprost mnogokotnik), ki ima vse stranice enake dolžine, je izbočen in znan kot navadni mnogokotnik.

Diagonale in koti v konveksnih poligonih

9- Skupno število N diagonale konveksnega mnogokotnika z n stranicami je dano z naslednjo formulo:

N = ½ n (n - 3)

Dokaz: V konveksnem mnogokotniku z n stranicami vsakega toka se nariše n - 3 diagonale, saj sta izključena točki in dve sosednji. Ker je n glavic, se nariše skupno n (n - 2) diagonale, vendar je vsaka diagonala narisana dvakrat, tako da je število diagonalov (brez ponovitve) n (n-2) / 2.

10- Vsota S notranjih kotov konveksnega mnogokotnika z n stranicami je podana z naslednjim razmerjem:

S = (n - 2) 180 °

Primeri

Primer 1

Ciklični šesterokotnik je poligon s šestimi stranicami in šestimi točki, vendar so vse točke na istem obodu. Vsak ciklični poligon je izbočen.

Ciklični šesterokotnik.

Primer 2

Določite vrednost notranjih kotov navadnega enegona.

Rešitev: enegon je 9-stranski poligon, če pa je tudi pravilen, so vse njegove strani in koti enaki.

Vsota vseh notranjih kotov 9-stranskega poligona je:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Vendar obstaja 9 notranjih kotov enake mere α, zato je treba izpolniti naslednjo enakost:

S = 9 α = 1260º

Iz tega sledi, da je merilo α vsakega notranjega kota pravilnega enegona:

α = 1260º / 9 = 140º