PERMUTACIJE BREZ PONOVITVE: FORMULE, DOKAZ, VAJE, PRIMERI - DUDE - 2025

Permutacije brez ponavljanja n elementov različne skupine različnih elementov, ki jih je mogoče dobiti iz ne ponavljajo nobenega elementa, le spreminjanje vrstnega reda postavitev elementov.

Če želite izvedeti število permutacij brez ponovitve, uporabite naslednjo formulo:

Pn = n!

Kateri razširi se Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Torej bi se v prejšnjem praktičnem primeru uporabljalo na naslednji način:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različnih štirimestnih številk.

To so skupaj 24 nizi: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Kot je razvidno, v nobenem primeru ni ponovitve, kar je 24 različnih številk.

Demo in formule

24 Razporeditve 4 različnih figur

Podrobneje bomo analizirali primer 24 različnih 4-mestnih nizov, ki jih je mogoče oblikovati s števkami števila 2468. Število nizov (24) je lahko znano, kot sledi:

Na voljo imate 4 možnosti, da izberete prvo števko, kar ostane 3 možnosti za izbiro druge številke. Dve števki sta že nastavljeni, za izbiro tretje številke pa ostajata dve možnosti. Zadnja številka ima samo eno možnost izbire.

Zato število permutacij, označenih s P4, dobimo s produktom izbirnih možnosti v vsakem položaju:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različnih štirimestnih številk

Na splošno je število različnih permutacij ali aranžmajev, ki jih je mogoče izvesti z vsemi n elementi danega niza:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Izraz n! Znano je kot n faktografsko in pomeni produkt vseh naravnih števil, ki ležijo med številom n in številom ena, vključno z obema.

12 Razporeditev dveh različnih figur

Predpostavimo, da želite vedeti število permutacij ali dvomestnih števil, ki jih je mogoče oblikovati s števkami številke 2468.

To bi bilo skupaj 12 ureditev: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Na voljo imate 4 možnosti za izbiro prve številke, pri čemer 3 številke izberete drugo. Zato je število permutacij 4 števk, vzetih po dva, označenih s 4P2, dobljeno s produktom izbirnih možnosti v vsakem položaju:

4P2 = 4 * 3 = 12 različnih dvomestnih številk

Na splošno je število različnih permutacij ali ureditev, ki jih lahko izvedemo z r elementi n v skupnem številu v danem nizu:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Zgornji izraz je okrnjen pred igranjem n !. Za dokončanje n! iz nje bi morali napisati:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Dejavniki, ki jih dodamo, predstavljajo faktororial:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Tako je dr.

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Od tod

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Primeri

Primer 1

Koliko različnih petčrkovnih kombinacij črk lahko sestavimo s črkami besede KLJUČ?

Želimo najti število različnih črkovnih kombinacij 5 črk, ki jih lahko sestavimo s 5 črkami besede KLJUČ; to je število nizov s petimi črkami, ki vključujejo vse črke, ki so na voljo v besedi KLJUČ.

Št. 5 črkovnih besed = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 različnih kombinacij črk s 5 črkami.

To bi bili: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… do 120 različnih črčnih kombinacij.

Primer 2

Imate 15 oštevilčenih kroglic in želite vedeti, koliko različnih skupin 3 kroglic je mogoče sestaviti s 15 oštevilčenimi kroglicami?

Želite najti število skupin 3 kroglic, ki jih lahko naredite s 15 oštevilčenimi kroglicami.

Število skupin 3 kroglice = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Število skupin 3 kroglice = 15 * 14 * 13 = 2730 skupin po 3 kroglice

Rešene vaje

Vaja 1

V trgovini s sadjem je razstavni prostor, sestavljen iz vrste predelkov, ki se nahajajo v predsobi v prostore. V enem dnevu zelena pridobi na prodaj: pomaranče, banane, ananas, hruške in jabolka.

a) Koliko različnih načinov morate naročiti na razstavnem prostoru?

b) Na koliko različnih načinov morate naročiti stojalo, če ste poleg omenjenih plodov (5) na ta dan prejeli še mango, breskve, jagode in grozdje (4)?

a) v razstavni vrstici želimo najti več različnih načinov, kako naročiti vse sadje; to je število aranžmajev s 5 sadnimi izdelki, ki vključujejo vse sadje, ki je na ta dan na voljo za prodajo.

Št. Stojnic = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Št. Postavitev stojnic = 120 načinov predstavitve stojala

b) Želimo najti več različnih načinov, kako naročiti vse sadje v prikazni vrstici, če smo dodali 4 dodatne izdelke; to je število aranžmajev 9 sadnih izdelkov, ki vključujejo vse sadje, ki je bilo na voljo za prodajo na ta dan.

Št. Stojnic = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Število razporeditev stojnic = 362.880 načinov predstavitve stojala

Vaja 2

Majhna trgovina z živili ima parcelo z dovolj prostora za parkiranje 6 vozil.

a) Koliko različnih načinov naročanja vozil na zemljišču lahko izberete?

b) Predpostavimo, da se pridobi neprekinjeno zemljišče, katerega dimenzije omogočajo parkiranje 10 vozil.Koliko različnih oblik ureditve vozil je zdaj mogoče izbrati?

a) Želimo najti več različnih načinov naročanja 6 vozil, ki jih je mogoče namestiti na parceli.

Število ureditev 6 vozil = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Število ureditev 6 vozil = 720 različnih načinov naročanja 6 vozil na parceli.

b) Želimo najti število različnih načinov naročanja 10 vozil, ki jih je mogoče namestiti na parceli po širitvi zemljiške parcele.

Število razporeditev 10 vozil = P10 = 10!

Število razporeditev vozil = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Število ureditev 10 vozil = 3.628.800 različnih načinov naročanja 10 vozil na parceli.

Vaja 3

Cvetličarna ima cvetje 6 različnih barv, s katerimi izdeluje cvetne zastave narodov, ki imajo samo 3 barve. Če je znano, da je v zastavah pomemben vrstni red barv,

a) Koliko različnih zastav v treh barvah je mogoče izdelati s 6 razpoložljivimi barvami?

b) Prodajalec kupi rože dveh dodatnih barv za 6, ki jih je že imel, zdaj, koliko različnih zastav v treh barvah je mogoče izdelati?

c) Ker imate 8 barv, se odločite, da boste razširili svojo paleto zastav. Koliko različnih 4-barvnih zastav lahko naredite?

d) Koliko dveh barv?

a) Želimo najti število različnih zastav v treh barvah, ki jih lahko izdelamo z izbiro med 6 razpoložljivimi barvami.

Število 3-barvnih zastav = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Število 3-barvnih zastav = 6 * 5 * 4 = 120 zastav

b) Želite najti število različnih zastavic v treh barvah, ki jih lahko naredite tako, da izberete med 8 razpoložljivimi barvami.

Število 3-barvnih zastav = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Število 3-barvnih zastav = 8 * 7 * 6 = 336 zastav

c) Število različnih 4-barvnih zastavic, ki jih lahko naredite z izbiro med 8 razpoložljivimi barvami.

Število 4-barvnih zastav = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Število 4-barvnih zastav = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 zastav

d) Želite določiti število različnih dvobarvnih zastavic, ki jih lahko naredite tako, da izberete med 8 razpoložljivimi barvami.

Število dvobarvnih zastav = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Število dvobarvnih zastav = 8 * 7 = 56 zastav

Reference

1. Boada, A. (2017). Uporaba permutacije s ponavljanjem kot poučevanje eksperimentov. Revija Vivat Academia. Pridobljeno iz researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Verjetnost in statistika. Vloge in metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Steklo, G .; Stanley, J. (1996). Statistične metode, ki se ne uporabljajo za družbene vede. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistika. Četrto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ka, Ka. (2007). Verjetnost in statistika za inženirje in znanstvenike. Osmi izd. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistika, ki se uporablja za poslovanje in gospodarstvo. Tretji izd. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutacija Pridobljeno s strani en.wikipedia.org.