Linearna interpolacija je metoda, ki izvira splošno Newton interpolacijo in približevanje določiti, za neznano vrednost, ki je med dvema danih števil; to pomeni, da je najdena vmesna vrednost. Uporablja se tudi za približne funkcije, kjer sta znani vrednosti f (a) in f (b) in želimo vedeti vmesnik f (x) .
Obstajajo različne vrste interpolacije, kot so linearna, kvadratna, kubična in višjih stopenj, najpreprostejši pa je linearni približek. Cena, ki jo je treba plačati z linearno interpolacijo, je, da rezultat ne bo tako natančen kot pri približkih z uporabo funkcij višjih stopenj.
Opredelitev
Linearna interpolacija je postopek, ki vam omogoča, da ugotovite vrednost med dvema natančno definiranima vrednostma, ki sta lahko v tabeli ali vrstnem grafu.
Na primer, če veste, da so trije litri mleka vredni 4 dolarje in da je 5 litrov vrednih 7 dolarjev, vendar želite vedeti, kakšna je vrednost 4 litrov mleka, interpolirate, da določite vmesno vrednost.
Metoda
Za oceno vmesne vrednosti funkcije se funkcija f (x) približa s črto r (x) , kar pomeni, da se funkcija spreminja linearno z «x» za odsek «x = a» in «x = b "; to pomeni, da je za vrednost "x" v intervalu (x 0 , x 1 ) in (y 0 , y 1 ) vrednost "y" podana s črto med točkami in je izražena z naslednjim razmerjem:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Da je interpolacija linearna, mora biti interpolacijski polinom prve stopnje (n = 1), tako da ustreza vrednostima x 0 in x 1.
Linearna interpolacija temelji na podobnosti trikotnikov, in sicer tako, da lahko iz prejšnjega izraza dobimo vrednost "y", kar predstavlja neznano vrednost za "x".
Tako morate:
a = tan Ɵ = (nasprotna noga 1 ÷ sosednja noga 1 ) = (nasprotna noga 2 ÷ sosednja noga 2 )
Izraženo na drug način, je:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Rešimo za izraze «in» iz izrazov:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Tako dobimo splošno enačbo za linearno interpolacijo:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Na splošno linearna interpolacija daje majhno napako glede resnične vrednosti prave funkcije, čeprav je napaka minimalna v primerjavi s tem, če intuitivno izberete številko, ki je blizu tiste, ki jo želite najti.
Ta napaka se pojavi pri poskusu približevanja vrednosti krivulje z ravno črto; V teh primerih je treba zmanjšati velikost intervala, da bo približek natančnejši.
Za najboljše rezultate glede približevanja je za izvedbo interpolacije priporočljivo uporabiti funkcije stopnje 2, 3 ali celo višje stopnje. V teh primerih je izrek Taylor zelo koristno orodje.
Rešene vaje
Vaja 1
Število bakterij na enoto prostornine, ki obstaja v inkubaciji po x urah, je prikazano v naslednji tabeli. Želite vedeti, kakšen je volumen bakterij v času 3,5 ure.
Rešitev
Referenčna tabela ne določa vrednosti, ki kaže na količino bakterij v času 3,5 ur, vendar sta zgornja in spodnja vrednost, ki ustrezata času 3 oziroma 4 ure. Tako:
x 0 = 3 in 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 in 1 = 135
Zdaj se za iskanje interpolirane vrednosti uporabi matematična enačba, ki je naslednja:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Nato se ustrezne vrednosti nadomestijo:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Tako dobimo, da je v času 3,5 ur število bakterij 113, kar predstavlja vmesni nivo med količino bakterij, ki so obstajale v 3 do 4 urah.
Vaja 2
Luis ima tovarno sladoleda in želi narediti študijo, da bi na podlagi opravljenih stroškov ugotovil dohodek, ki ga je imel avgusta. Skrbnik podjetja naredi graf, ki izraža to razmerje, vendar Luis želi vedeti:
Kolikšen je dohodek za avgust, če bi nastali 55.000 ameriških dolarjev?
Rešitev
Podan je graf z vrednostmi prihodkov in odhodkov. Luis želi vedeti, kakšen je dohodek za avgust, če bi imela tovarna odhodke v višini 55.000 dolarjev. Ta vrednost se v grafu ne odraža neposredno, vendar so vrednosti višje in nižje od tega.
Najprej se pripravi tabela, kjer lahko preprosto povežete vrednosti:
Zdaj se interpolacijska formula uporablja za določitev vrednosti y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Nato se ustrezne vrednosti nadomestijo:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0.588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68 936 USD.
Če so avgusta naredili odhodke v višini 55.000 dolarjev, je bil prihodek 68.936 dolarjev.
Reference
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
- Harpe, P. d. (2000). Teme iz teorije geometrijskih skupin. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija ", Enciklopedija matematike.
- , JM (1998). Elementi numeričnih metod za inženiring. UASLP.
- , E. (2002). Kronologija interpolacije: od antične astronomije do moderne obdelave signalov in slik. Zbornik IEEE.
- številčna, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.