MATEMATIČNO PRIČAKOVANJE: FORMULA, LASTNOSTI, PRIMERI, VAJA - DUDE - 2026

Matematično pričakovanje ali pričakovana vrednost slučajne spremenljivke X, je označena kot E (X) in je definirana kot vsota proizvoda med verjetnost naključnega dogodka in vrednosti omenjenega dogodka.

V matematični obliki se izrazi na naslednji način:

Slika 1. Matematično pričakovanje se široko uporablja na borzi in v zavarovalništvu. Vir: Pixabay.

Kjer je x _i vrednost dogodka in P (x _i ) njegova verjetnost pojava. Vsota se razširi na vse vrednosti, ki jih prizna X. In če so te končne, se navedena vsota zbliža z vrednostjo E (X), če pa seštevek ne konvergira, potem spremenljivka preprosto nima pričakovane vrednosti.

Če gre za neprekinjeno spremenljivko x, ima lahko spremenljivka neskončne vrednosti in integrali nadomestijo seštevke:

Tu f (x) predstavlja funkcijo gostote verjetnosti.

Na splošno matematično pričakovanje (ki je tehtano povprečje) ni enako aritmetični srednji ali povprečni, razen če imamo opravka z diskretnimi porazdelitvami, pri katerih je vsak dogodek enako verjeten. Potem in šele nato:

Kjer je n število možnih vrednosti.

Koncept je zelo uporaben na finančnih trgih in zavarovalnicah, kjer gotovo ni dovolj gotovosti, vendar verjetnosti obstajajo.

Lastnosti matematičnega pričakovanja

Med najpomembnejšimi lastnostmi matematičnega pričakovanja izstopajo naslednje:

- znak: če je X pozitiven, bo tudi E (X) pozitiven.

- Pričakovana vrednost konstante : pričakovana vrednost realne konstante k je konstanta.

- Linearnost v seštevku: pričakovanje naključne spremenljivke, ki je posledično vsota dveh spremenljivk X in Y, je vsota pričakovanj.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Pomnožitev s konstanto : če je naključna spremenljivka oblike kX, kjer je k konstanta (realno število), izide zunaj pričakovane vrednosti.

- Pričakovana vrednost izdelka in neodvisnost med spremenljivkami : če je naključna spremenljivka produkt naključnih spremenljivk X in Y, ki sta neodvisni, potem je pričakovana vrednost izdelka rezultat pričakovanih vrednosti.

Na splošno je, če je Y = g (X):

- Vrstni red v pričakovani vrednosti: če je X ≤ Y, potem:

Ker so pričakovane vrednosti vsakega od njih.

Matematično pričakovanje pri stavah

Ko slavni astronom Christian Huygens (1629-1695) ni opazoval neba, se je med drugim posvetil preučevanju verjetnosti v igrah na srečo. Prav on je v svojem delu iz leta 1656 z naslovom: Razmišljanje o igrah na srečo uvedel koncept matematičnega upanja.

Slika 2. Christiaan Huygens (1629-1625) je bil sijajen in vsestranski znanstvenik, ki mu dolgujemo koncept pričakovane vrednosti.

Huygens je ugotovil, da je mogoče stave razvrstiti na tri načine na podlagi pričakovane vrednosti:

-Igre s prednostjo: E (X)> 0

- Poštene stave: E (X) = 0

-Smanje prikrajšanega: E (X) <0

Težava je v tem, da matematičnega pričakovanja v igri na srečo ni vedno enostavno izračunati. In ko lahko, je rezultat včasih razočaral za tiste, ki se sprašujejo, ali naj stavijo ali ne.

Poskusimo z enostavno stavo: glave ali repi in poraženec plača kavo v vrednosti 1 dolar. Kakšna je pričakovana vrednost te stave?

No, verjetnost, da bodo glave zavrtane, je ½, kar je enako repom. Naključna spremenljivka je pridobila 1 $ ali izgubila $ 1, dobiček pa je označen z znakom +, izgubo pa z znakom -.

Informacije organiziramo v tabeli:

Pomnožimo vrednosti stolpcev: 1. ½ = ½ in (-1). ½ = –½ in na koncu se dodajo rezultati. Vsota je 0 in gre za pošteno igro, v kateri se od udeležencev ne pričakuje, da ne bodo zmagali niti izgubili.

Francoska ruleta in loterija sta hendikepni tekmi, v katerih izgubi večina stav. Kasneje je v odseku rešenih vaj nekoliko bolj zapletena stava.

Primeri

Tu je nekaj preprostih primerov, ko je koncept matematičnega pričakovanja intuitiven in pojasni:

Primer 1

Začeli bomo z valjanjem poštene matrice. Kakšna je pričakovana vrednost izstrelitve? No, če je matrica iskrena in ima 6 glav, je verjetnost, da se bo katera koli vrednost (X = 1, 2, 3… 6) vrtela, 1/6, takole:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Slika 3. V zvitku poštene matrice pričakovana vrednost ni možna vrednost. Vir: Pixabay.

Pričakovana vrednost v tem primeru je enaka povprečju, saj ima vsak obraz enako verjetnost, da se bo izlil. Toda E (X) ni možna vrednost, saj nobena glava ni vredna 3,5. To je povsem mogoče pri nekaterih distribucijah, čeprav v tem primeru rezultat veliko ne pomaga bettorju.

Poglejmo še en primer z metanjem dveh kovancev.

Primer 2

V poštev vržemo dva poštena kovanca in naključno spremenljivko X definiramo kot število rolanih glav. Dogodki, ki se lahko zgodijo, so naslednji:

-Ne prihajajo glave: 0 glav, kar je enako 2 repom.

Izide 1 glava in 1 žig ali repi.

Izideta dva obraza.

Naj bo C glava in T tesnilo, vzorčni prostor, ki opisuje te dogodke, je naslednji:

S _m = {pečat-pečat; Tesnilni obraz; Face-pečat; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Verjetnosti dogodkov so:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabela je sestavljena z dobljenimi vrednostmi:

Glede na definicijo, ki je bila podana na začetku, se matematično pričakovanje izračuna kot:

Nadomestitev vrednosti:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ta rezultat se razlaga tako: če ima človek dovolj časa, da opravi veliko število eksperimentov z metanjem obeh kovancev, se od njega pričakuje, da bo dobil glavo.

Vemo pa, da so izdaje z dvema nalepkama povsem možne.

Vaja rešena

Pri metu dveh poštenih kovancev je narejena naslednja stava: če prideta 2 glavi, dobite 3 $, če pride 1 glava, dobite 1 $, če pa prideta dva žiga, morate plačati 5 USD. Izračunajte pričakovani dobitek stave.

Slika 4. Glede na stavo se spremeni matematično pričakovanje med metanjem dveh poštenih kovancev. Vir: Pixabay.

Rešitev

Naključna spremenljivka X je vrednosti, ki jih denar prevzame pri stavi, in verjetnosti so bile izračunane v prejšnjem primeru, zato je tabela stave:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Ker je pričakovana vrednost 0, je to poštena igra, zato se pričakuje, da bettor ne bo zmagal in ne izgubil niti enega. Vendar se stavni zneski lahko spremenijo, tako da stava postane igra hendikepa ali hendikepa.

Reference

1. Brase, C. 2009. Razumljiva statistika. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Uvod v koncept pričakovane vrednosti ali matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke. Pridobljeno: osebno.us.es.
3. Statistika LibreTexts. Pričakovana vrednost diskretnih naključnih spremenljivk. Pridobljeno: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Osnovna statistika. 11. oz. Editor Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Verjetnost in statistika za znanost in inženiring. 8. Izdaja. Pearsonova vzgoja.