POISSONOVA PORAZDELITEV: FORMULE, ENAČBE, MODEL, LASTNOSTI - DUDE - 2026

Poissonova porazdelitev je diskretna porazdelitev verjetnosti, s pomočjo katerih je mogoče vedeti, verjetnost, da se v velikem vzorca velikosti in v določenem intervalu, dogodek, katerega verjetnost je majhna, se bo zgodilo.

Pogosto lahko Poissonovo porazdelitev uporabimo namesto binomne porazdelitve, če so izpolnjeni naslednji pogoji: velik vzorec in majhna verjetnost.

Slika 1. Graf Poassonove porazdelitve za različne parametre. Vir: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) je ustvaril to distribucijo, ki nosi njegovo ime, zelo koristno, ko gre za nepredvidljive dogodke. Poisson je svoje rezultate objavil leta 1837, delo preiskave o verjetnosti nastanka napačnih kazenskih kazni.

Pozneje so drugi raziskovalci prilagodili razporeditev na drugih območjih, na primer število zvezd, ki bi jih bilo mogoče najti v določenem volumnu prostora, ali verjetnost, da bo vojak umrl od udarca konja.

Formula in enačbe

Matematična oblika Poissonove porazdelitve je naslednja:

- μ (tudi včasih označeno kot λ) je sredina ali parameter porazdelitve

- Eulerjeva številka: e = 2.71828

- Verjetnost pridobitve y = k je P

- k je število uspehov 0, 1,2,3 …

- n število preskusov ali dogodkov (velikost vzorca)

Diskretne naključne spremenljivke, kot pove že njihovo ime, so odvisne od naključja in sprejmejo samo diskretne vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Srednjo vrednost porazdelitve poda:

Pomemben parameter je varianca σ, ki meri širjenje podatkov. Za Poissonovo distribucijo:

σ = μ

Poisson je določil, da se pri n → ∞ in p → 0 srednja μ - imenovana tudi pričakovana vrednost - na konstanto:

- Upoštevani dogodki ali dogodki so neodvisni in se odvijajo naključno.

-Verjetnost P za določen dogodek v določenem časovnem obdobju je zelo majhna: P → 0.

- Verjetnost, da se bo v časovnem intervalu zgodilo več dogodkov, je 0.

-Srednja vrednost je približno konstanta, podana z: μ = np (n je velikost vzorca)

-Če je disperzija σ enaka μ, ko sprejme večje vrednosti, spremenljivost postane tudi večja.

-Predmeti morajo biti enakomerno razporejeni v uporabljenem časovnem intervalu.

-Nabor možnih vrednosti dogodka y je: 0,1,2,3,4….

-Vsota i spremenljivk, ki sledijo Poissonovi porazdelitvi, je tudi druga Poissonova spremenljivka. Njegova povprečna vrednost je vsota povprečnih vrednosti teh spremenljivk.

Razlike z binomno porazdelitvijo

Poissonova porazdelitev se razlikuje od binomne porazdelitve na naslednje pomembne načine:

-Na binomno porazdelitev vplivata tako velikost vzorca n kot verjetnost P, vendar na Poissonovo distribucijo vpliva samo srednja μ.

-V binomski porazdelitvi so možne vrednosti naključne spremenljivke y 0,1,2,…, N, medtem ko pri Poissonovi porazdelitvi ni zgornje meje za te vrednosti.

Primeri

Poisson je sprva uporabljal svojo znano distribucijo na pravnih zadevah, na industrijski ravni pa je bila ena od njegovih najzgodnejših načinov pri pripravi piva. V tem procesu se kulture kvasovk uporabljajo za fermentacijo.

Kvas je sestavljen iz živih celic, katerih populacija je s časom spremenljiva. Pri izdelavi piva je treba dodati potrebno količino, zato je treba vedeti, koliko celic je na enoto prostornine.

Med drugo svetovno vojno je bila Poissonova razdelitev uporabljena, da bi ugotovili, ali Nemci dejansko ciljajo na London iz Calaisa ali samo naključno streljajo. To je bilo pomembno, da so zavezniki ugotovili, kako dobra je bila tehnologija na voljo nacistom.

Praktične aplikacije

Uporaba Poissonove distribucije se vedno nanaša na štetja v času ali štetja v prostoru. In ker je verjetnost za pojav majhna, je znan tudi kot "zakon redkih dogodkov".

Tu je seznam dogodkov, ki spadajo v eno od teh kategorij:

-Registracija delcev v radioaktivnem razpadu, ki je tako kot rast celic kvasovk eksponentna funkcija.

-Število obiskov določene spletne strani.

-Prihod ljudi na linijo za plačilo ali udeležbo (teorija čakalnih vrst).

-Število avtomobilov, ki v določenem časovnem intervalu prečkajo določeno točko na cesti.

Slika 2. Število avtomobilov, ki peljejo skozi točko, približno sledi Poissonovi porazdelitvi. Vir: Pixabay.

-Mutacije, ki so jih pretrpele v določeni verigi DNK, potem ko so bile izpostavljene sevanju.

-V letu dni pade več meteoritov s premerom večjim od 1 m.

-Popolnosti na kvadratni meter tkanine.

-Kvaliteta krvnih celic v 1 kubičnem centimetru.

-Klic na minuto do telefonske centrale.

-Čekoladni čips, ki je prisoten v 1 kg pogače.

-Število dreves, okuženih z določenim parazitom v 1 hektarju gozda.

Upoštevajte, da te naključne spremenljivke predstavljajo, kolikokrat se zgodi dogodek v določenem časovnem obdobju (klici na minuto telefonske centrale) ali določeno območje prostora (napake tkanine na kvadratni meter).

Ti dogodki, kot je že ugotovljeno, niso odvisni od časa, ki je minil od zadnjega dogodka.

Približevanje binomne porazdelitve s Poissonovo porazdelitvijo

Poissonova porazdelitev je dober približek binomski porazdelitvi, če:

-Večina vzorca je velika: n ≥ 100

- Verjetnost p je majhna: p ≤ 0,1

- μ je v vrstnem redu: np ≤ 10

V takšnih primerih je Poissonova porazdelitev odlično orodje, saj je binomna porazdelitev v teh primerih težko uporabna.

Rešene vaje

Vaja 1

Seizmološka študija je določila, da je bilo v zadnjih 100 letih po svetu 93 velikih potresov, najmanj 6,0 po Richterovi lestvici -logaritmični-. Predpostavimo, da je distribucija Poisson v tem primeru primeren model. Najti:

a) Povprečni pojav velikih potresov na leto.

b) Če je P (y) verjetnost, da se bodo potresi zgodili med naključno izbranim letom, poiščite naslednje verjetnosti:

To je precej manj kot P (2).

Rezultati so navedeni spodaj:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Na primer, lahko rečemo, da obstaja 39,5-odstotna verjetnost, da v določenem letu ne bo prišlo do večjega potresa. Ali da se je v tem letu zgodilo 5,29% od treh velikih potresov.

Rešitev c)

c) Frekvencije se analizirajo, pomnožijo z n = 100 let:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 in 0,00471.

Na primer:

- Pogostost 39,5 pomeni, da se v 39,5 od 100 let zgodi 0 velikih potresov, lahko rečemo, da je precej blizu dejanskemu rezultatu 47 let brez večjih potresov.

Primerjajmo še en Poisson rezultat z dejanskimi rezultati:

- dobljena vrednost 36,7 pomeni, da je v obdobju 37 let prišlo do 1 velikega potresa. Dejanski rezultat je, da se je v 31 letih zgodil 1 velik potres, kar se je dobro ujemalo z modelom.

- pričakujejo 17,1 leta z 2 velikimi potresi in znano je, da je bilo v 13 letih, kar je blizu vrednost, resnično 2 velika potresa.

Zato je za ta primer sprejemljiv Poissonov model.

Vaja 2

Eno podjetje ocenjuje, da število komponent, ki ne uspejo, preden dosežejo 100 obratovalnih ur, sledi Poissonovi distribuciji. Če je v tem času povprečno število okvar 8, poiščite naslednje verjetnosti:

a) da komponenta ne uspe v 25 urah.

b) okvara manj kot dveh komponent v 50 urah.

c) Vsaj tri komponente odpovejo v 125 urah.

Rešitev za)

a) Znano je, da je povprečje okvar v 100 urah 8, zato se v 25 urah pričakuje četrtina okvar, torej 2 odpovedi. To bo parameter μ.

Verjetnost, da 1 komponenta ne uspe, je naključna spremenljivka "komponente, ki ne uspejo pred 25 ur", njena vrednost pa je y = 1. Z zamenjavo v verjetnostni funkciji:

Vprašanje pa je verjetnost, da manj kot dve komponenti odpoveta v 50 urah, ne pa, da natančno dve komponenti ne uspeta v 50 urah, zato moramo dodati verjetnosti, da:

-Nih ne odpove

- Neuspeh samo 1

Parameter μ porazdelitve v tem primeru je:

μ = 8 + 2 = 10 odpovedi v 125 urah.

P (3 ali več komponent ne uspe) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Reference

1. MathWorks. Poissonova porazdelitev. Pridobljeno: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistika za management in ekonomijo. 3. oz. izdaja. Grupo Uredništvo Iberoamérica.
3. Stat Trek. Naučite se statistike. Poissonova distribucija. Pridobljeno: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Osnovna statistika. 11. oz. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedija. Poissonova porazdelitev. Pridobljeno: en.wikipedia.org