Binomska porazdelitev je porazdelitev verjetnosti, s katero se izračuna verjetnost pojava dogodkov, pod pogojem, da se pojavijo v dveh načinih: uspeh ali neuspeh.
Te oznake (uspeh ali neuspeh) so popolnoma poljubne, saj ne pomenijo nujno dobrih ali slabih stvari. V tem članku bomo navedli matematično obliko binomne porazdelitve in nato bo podrobno pojasnjen pomen vsakega pojma.
Slika 1. Zvitek matrice je pojav, ki ga je mogoče modelirati z binomno porazdelitvijo. Vir: Pixabay.
Enačba
Enačba je naslednja:
Z x = 0, 1, 2, 3… .n, kjer:
- P (x) je verjetnost natančno x uspehov med n poskusi ali poskusi.
- x je spremenljivka, ki opisuje pojavni interes, ki ustreza številu uspehov.
- n število poskusov
- p je verjetnost uspeha v 1 poskusu
- q je verjetnost neuspeha v 1 poskusu, zato je q = 1 - p
Klicaj "!" se uporablja za faktorski zapis, torej:
0! = 1
eno! = 1
dva! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
In tako naprej.
Koncept
Binomna porazdelitev je zelo primerna za opisovanje situacij, v katerih se dogodek zgodi ali ne. Če se zgodi, je to uspeh, če pa ne, potem je neuspeh. Poleg tega mora verjetnost uspeha vedno ostati konstantna.
Obstajajo pojavi, ki ustrezajo tem pogojem, na primer metanje kovanca. V tem primeru lahko rečemo, da "uspeh" dobiva obraz. Verjetnost je ½ in se ne spremeni, ne glede na to, kolikokrat je kovanec vržen.
Zvitek poštene matrice je še en dober primer, pa tudi razvrščanje določene proizvodnje v dobre koščke in pokvarjene koščke in pridobivanje rdečega namesto črnega pri vrtenju kolesa.
značilnosti
Značilnosti binomne porazdelitve lahko povzamemo na naslednji način:
- Vsak dogodek ali opazovanje se pridobi iz neskončne populacije brez zamenjave ali iz končne populacije z nadomestkom.
- Obstajata samo dve možnosti, ki se medsebojno izključujeta: uspeh ali neuspeh, kot je bilo pojasnjeno na začetku.
- Verjetnost uspeha mora biti pri vsakem opazovanju konstantna.
- Rezultat katerega koli dogodka je neodvisen od katerega koli drugega dogodka.
- Srednja vrednost binomne porazdelitve je np
- standardni odklon je:
Primer aplikacije
Vzemimo preprost dogodek, ki bo morda dobil 2 glavi 5 tako, da pošteno matrico 3-krat zavrtimo. Kolikšna je verjetnost, da bomo v 3 metkih dobili 2 glavi od 5?
Na voljo je več načinov, na primer:
- Prvi dve izstrelki sta 5, zadnji pa ne.
- Prva in zadnja sta 5, ne pa srednja.
- Zadnja dva meta sta 5, prvi pa ne.
Vzemimo za primer prvo zaporedje in izračunamo njegovo verjetnost pojava. Verjetnost, da v prvem zvitku dobite 5 glav, je 1/6, prav tako pa na drugem, saj gre za neodvisne dogodke.
Verjetnost, da bi pri zadnjem zvitku dobili še eno glavo, ki ni 5, je 1 - 1/6 = 5/6. Zato je verjetnost, da se to zaporedje pojavi, rezultat verjetnosti:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Kaj pa druga dva zaporedja? Imajo enako verjetnost: 0,023.
In ker imamo skupno 3 uspešna zaporedja, bo skupna verjetnost:
Primer 2
Ena univerza trdi, da 80% študentov v košarkarski ekipi na fakulteti diplomira. Preiskava proučuje akademsko evidenco 20 študentov iz omenjene košarkarske ekipe, ki so se pred časom vpisali na univerzo.
Od teh 20 študentov je 11 končalo študij, 9 pa jih je opustilo.
Slika 2. Skoraj vsi študentje, ki igrajo za ekipo fakultete, diplomirajo. Vir: Pixabay.
Če je trditev univerze resnična, bi moralo število študentov, ki igrajo košarko in diplomirajo, od 20, imeti binomno porazdelitev z n = 20 in p = 0,8. Kakšna je verjetnost, da bo natanko 11 od 20 igralcev diplomiralo?
Rešitev
V binomni porazdelitvi:
Primer 3
Raziskovalci so izvedli študijo, s katero so ugotovili, ali obstajajo pomembne razlike v stopnjah diplomiranja med študenti medicine, ki so bili sprejeti na posebne programe, in študenti medicine, sprejetimi po rednih merilih za sprejem.
Za študentske zdravnike, ki so bili sprejeti po posebnih programih (na podlagi podatkov iz Journal of American Medical Association), je stopnja diplomiranja znašala 94%.
Če je naključno izbranih 10 študentov posebnih programov, poiščite verjetnost, da jih je vsaj 9 diplomiralo.
b) Ali bi bilo nenavadno, da naključno izberemo 10 študentov iz posebnih programov in ugotovimo, da jih je diplomiralo le 7?
Rešitev
Verjetnost, da bo študent, sprejet v poseben program, diplomiral, je 94/100 = 0,94. Iz posebnih programov izberemo n = 10 študentov in želimo ugotoviti verjetnost, da jih bo vsaj 9 diplomiralo.
Naslednje vrednosti se nato nadomestijo v binomni porazdelitvi:
b)
Reference
- Berenson, M. 1985. Statistika za management in ekonomijo. Interamericana SA
- MathWorks. Binomna porazdelitev. Pridobljeno: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistika za management in ekonomijo. 3. oz. izdaja. Grupo Uredništvo Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Uporabljena osnovna statistika. 2. Izdaja.
- Triola, M. 2012. Osnovna statistika. 11. oz. Ed. Pearson Education.
- Wikipedija. Binomna porazdelitev. Pridobljeno: es.wikipedia.org