PRAVOKOTNE KOORDINATE: PRIMERI IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2025

V pravokotne koordinate ali Kartezijev so tiste, ki so pridobljeni na pravokotno štrlečih treh kartezičnih oseh X, Y, Z točka nahaja v treh - dimenzionalni prostor.

Kartezijanske osi so medsebojno usmerjene črte, pravokotne ena na drugo. V kartezijanskem koordinatnem sistemu je vsaki točki v prostoru dodeljena tri realna števila, ki so njene pravokotne koordinate.

Slika 1. Pravokotne koordinate točke P (lastna izdelava)

Ravnina je podprostor tridimenzionalnega prostora. Če upoštevamo točke na ravnini, potem je dovolj, da izberemo par pravokotnih osi X, Y kot kartezijanski sistem. Nato je vsaki točki na ravnini dodeljeno dve realni številki, ki sta njuni pravokotni koordinati.

Izvor pravokotnih koordinat

Pravokotne koordinate je prvotno predlagal francoski matematik René Descartes (1596 in 1650), zato jih imenujemo kartuzijanska.

S to idejo Descartesa sta točkah ravnine in prostora dodeljena števila, tako da imajo geometrijske figure povezane algebarske enačbe in klasične geometrijske teoreme je mogoče algebarično dokazati. S kartezijanskimi koordinatami se rodi analitična geometrija.

Kartezijansko letalo

Če sta v ravnini izbrani dve pravokotni črti, ki sekata v točki O; in če je poleg tega vsaki vrstici dodeljena smer in številčna lestvica med zaporednimi enakomerno oddaljenimi točkami, potem obstaja kartuzijanski sistem ali ravnina, v kateri je vsaka točka ravnine povezana z urejenim parom dveh realnih števil, ki sta njuni projekciji na osi X in Y.

Točke A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) in D = (3, -3) sta predstavljena v kartezijanski ravnini, kot je prikazano spodaj:

Slika 2. Točke v kartezijanski ravnini. (Lastna izdelava)

Upoštevajte, da obe osi X in Y razdelita ravnino na štiri sektorje, imenovane kvadrant. Točka A je v prvem kvadrantu, točka B je v drugem kvadrantu, točka C je v tretjem kvadrantu, točka D pa v četrtem kvadrantu.

Razdalja med dvema točkama

Razdalja med dvema točkama A in B na kartezijanski ravnini je dolžina odseka, ki ju povezuje. To razdaljo lahko analitično izračunamo na naslednji način:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Zgornjo formulo dobimo z uporabo pitagorejskega izrek.

Z uporabo te formule za točke A, B na sliki 2 imamo:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

To pomeni, d (A, B) = 5,10 enot. Upoštevajte, da je bila razdalja pridobljena brez merjenja z ravnilom, zato smo upoštevali popolnoma algebrski postopek.

Analitični izraz črte

Pravokotne koordinate omogočajo analitični prikaz osnovnih geometrijskih predmetov, kot sta točka in črta. Dve točki A in B določata eno črto. Nagib premice je opredeljen kot količnik med različico Y koordinat točke B minus A, deljeno z razliko X koordinat točke B minus A:

naklon = (By - Ay) / (Bx - Axe)

Vsaka točka P koordinat (x, y), ki pripada premici (AB), mora imeti isti naklon:

naklon = (y - Ay) / (x - os)

Enačba, ki jo dobimo z enakostjo pobočij, je analitični ali algebrski prikaz premice, ki poteka skozi točki A in B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Če za A in B vzamemo pravokotne koordinate slike 2, imamo:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

V tem konkretnem primeru imamo črto z negativnim naklonom -⅕, kar pomeni, da se z umeščanjem v točko na premici in povečanjem x-koordinate za eno enoto y koordinata zmanjša za 0,2 enote.

Najpogostejši način za zapisovanje enačbe premice v ravnini je s koordinato y, ki je očiščena kot funkcija spremenljivke x:

y = - (1/5) x + 13/5

Primeri

Primer 1

Z analitskimi metodami dobimo razdaljo med točkami C in A, ki sta pravokotni koordinati C = (-2, -3) in tistimi iz A = (3,2).

Formula za evklidsko razdaljo med tema dvema točkama je zapisana tako:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Z zamenjavo ustreznih pravokotnih koordinat imamo:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Primer 2

Pridobite enačbo premice, ki poteka skozi točko C koordinat (-2, -3) in točko P koordinat (2, 0).

Najprej dobimo naklon črte CP:

nagib = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Vsaka točka Q splošnih pravokotnih koordinat (x, y), ki spada v črto CP, mora imeti isti naklon:

nagib = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Z drugimi besedami, enačba vrstice CP je:

(y +3) / (x +2) = ¾

Alternativni način za pisanje enačbe vrstice CP je rešen za y:

y = ¾ x - 3/2

Rešene vaje

Vaja 1

Pridobite pravokotne koordinate presečišča med premicama y = - (1/5) x + 13/5 in premico y = ¾ x - 3/2.

Rešitev: Po definiciji točke presečišča obeh črt delijo enake pravokotne koordinate. Zato so y-koordinate na presečišču za obe premici enake:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

kar vodi do naslednjega izraza:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

reševanje vsote ulomkov dobimo:

19/20 x = 41/10

Reševanje za x:

x = 82/19 = 4,32

Da dobimo y vrednost presečišča, dobljeno vrednost x nadomestimo v kateri koli od črt:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

To pomeni, da se dane črte sekajo v točki I koordinat I = (4.32, 1.74).

Vaja 2

Pridobite enačbo oboda, ki poteka skozi točko R pravokotnih koordinat (3, 4) in ima njeno središče na izvoru koordinat.

Rešitev: Polmer R je razdalja od točke R do izhodišča koordinat O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

To je krog polmera 5 s središčem na (0,0).

Vsaka točka P (x, y) na obodu mora biti enaka razdalji 5 od središča (0, 0), da se lahko zapiše:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Se pravi:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Za odpravo kvadratnega korena sta oba člana enakosti na kvadrat, pri čemer dobimo:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Kakšna je enačba oboda.

Ta primer ponazarja moč pravokotnega koordinatnega sistema, ki omogoča določanje geometrijskih predmetov, kot je obod, brez potrebe po uporabi papirja, svinčnika in kompasa. Zahtevani obseg je določen izključno z algebrskimi metodami.

Reference

1. Arfken G in Weber H. (2012). Matematične metode za fizike. Izčrpen vodnik. 7. izdaja Akademski tisk. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Rešeni problemi pravokotnih koordinat. Pridobljeno: računa.cc
3. Weisstein, Eric W. "kartezijanske koordinate." Iz spleta MathWorld-A Wolfram. Pridobljeno: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Kartezijev koordinatni sistem. Pridobljeno: en.wikipedia.com