ZGODOVINSKO OZADJE ANALITSKE GEOMETRIJE - MATEMATIKA - 2025

Za zgodovinske predhodnike iz analitične geometrije segajo v sedemnajstem stoletju, ko je Pierre de Fermat in René Descartes opredelila svojo temeljno idejo. Njegov izum je sledil modernizaciji algebre in algebraične oznake Françoisa Viètea.

To področje ima svoje osnove v antični Grčiji, zlasti v delih Apollonija in Euklida, ki sta imela velik vpliv na tem področju matematike.

Bistvena ideja analitične geometrije je, da razmerje med dvema spremenljivkama, tako da je ena funkcija drugega, definira krivuljo.

To idejo je prvi razvil Pierre de Fermat. Zahvaljujoč temu bistvenemu okviru sta Isaac Newton in Gottfried Leibniz uspela razviti račun.

Francoski filozof Descartes je odkril tudi algebrski pristop k geometriji, očitno sam. Descartesovo delo o geometriji se pojavlja v njegovi znameniti knjigi Diskurz o metodi.

Ta knjiga poudarja, da geometrijske konstrukcije kompasa in ravnega roba vključujejo seštevanje, odštevanje, množenje in kvadratne korenine.

Analitična geometrija predstavlja združitev dveh pomembnih tradicij matematike: geometrije kot preučevanja oblike in aritmetike in algebre, ki imata opraviti s količino ali števili. Zato je analitična geometrija preučevanje polja geometrije z uporabo koordinatnih sistemov.

Zgodovina

Ozadje analitske geometrije

Razmerje med geometrijo in algebro se je razvijalo skozi zgodovino matematike, čeprav je geometrija dosegla zgodnejšo stopnjo zrelosti.

Grški matematik Euclid je na primer v svoji klasični knjigi Elementi lahko organiziral številne rezultate.

Toda starogrški Apollonij iz Perge je v svoji knjigi Conics napovedal razvoj analitične geometrije. Konico je določil kot križišče med stožcem in ravnino.

Z uporabo Euklidovih rezultatov na podobnih trikotnikov in sekancev krogov je ugotovil razmerje, ki ga podajo razdalje od katere koli točke "P" konika do dveh pravokotnih črt, glavne osi stožca in tangenta na končni točki osi. Apollonius je uporabil to razmerje za sklepanje o temeljnih lastnostih stožcev.

Poznejši razvoj koordinatnih sistemov v matematiki se je pojavil šele po zorenju algebre po zaslugi islamskih in indijskih matematikov.

Do renesanse se je geometrija uporabljala za utemeljitev rešitev algebričnih problemov, vendar pa algebra ni mogla veliko prispevati k geometriji.

Ta položaj bi se spremenil s sprejetjem priročnega zapisa za algebrske odnose in razvojem koncepta matematične funkcije, ki je bil zdaj mogoč.

Stoletje XVI

Konec 16. stoletja je francoski matematik François Viète uvedel prvo sistematično algebrično notacijo, s pomočjo črk za prikaz številčnih količin, znanih in neznanih.

Razvil je tudi močne splošne metode za delo algebričnih izrazov in reševanje algebričnih enačb.

Zahvaljujoč temu matematiki niso bili popolnoma odvisni od geometrijskih figur in geometrijske intuicije za reševanje problemov.

Celo nekateri matematiki so začeli opuščati standardni geometrijski način razmišljanja, po katerem linearne spremenljivke dolžin in kvadratov ustrezajo površinam, kubične spremenljivke pa količinam.

Prvi korak sta bila filozof in matematik René Descartes ter pravnik in matematik Pierre de Fermat.

Temelj analitične geometrije

Descartes in Fermat sta v 1630-ih neodvisno ustanovila analitično geometrijo in sprejela Viètejevo algebro za proučevanje lokusa.

Ti matematiki so spoznali, da je algebra močno orodje v geometriji, in izumili tisto, kar danes poznamo kot analitično geometrijo.

Eden od njihovih prebojev je bil preseči Viète s črkami za prikaz razdalje, ki so spremenljive in ne fiksne.

Descartes je uporabil enačbe za proučevanje geometrijsko določenih krivulj in poudaril potrebo po preučitvi splošnih algebraično-grafičnih krivulj polinomnih enačb v stopinjah "x" in "y".

Fermat je poudaril, da vsako razmerje med koordinatama "x" in "y" določa krivuljo.

S pomočjo teh idej je preoblikoval Apolonijeve izjave v algebričnih izrazih in obnovil nekaj izgubljenega dela.

Fermat je nakazal, da je katero koli kvadratno enačbo v "x" in "y" mogoče postaviti v standardno obliko enega od stožčastih odsekov. Kljub temu Fermat ni nikoli objavil svojega dela na to temo.

Zahvaljujoč svojemu napredku, kar je Arhimed lahko rešil le z veliko težavo in za osamljene primere, sta Fermat in Descartes lahko rešila hitro in za veliko število krivulj (danes znane kot algebarske krivulje).

Toda njegove ideje so le dobile splošno sprejetje s prizadevanji drugih matematikov v drugi polovici 17. stoletja.

Matematiki Frans van Schooten, Florimond de Beaune in Johan de Witt so pomagali razširiti Decartesovo delo in dodali pomembno dodatno gradivo.

Vpliv

John Wallis je v Angliji populariziral analitično geometrijo. Uporabil je enačbe za določitev stožcev in določanje njihovih lastnosti. Čeprav je prosto uporabljal negativne koordinate, je Isaac Newton uporabil dve poševni osi, da je ravnino razdelil na štiri kvadrante.

Newton in nemški Gottfried Leibniz sta konec 17. stoletja revolucionirala matematiko s samostojnim prikazom moči preračuna.

Newton je pokazal pomen analitičnih metod v geometriji in njihovo vlogo pri računanju, ko je trdil, da ima katera koli kocka (ali katera koli algebarska krivulja tretje stopnje) tri ali štiri standardne enačbe za ustrezne koordinatne osi. S pomočjo Newtona samega je škotski matematik John Stirling to dokazal leta 1717.

Analitična geometrija treh in več dimenzij

Čeprav sta Descartes in Fermat predlagala uporabo treh koordinat za proučevanje krivulj in površin v vesolju, se je tridimenzionalna analitična geometrija počasi razvijala do leta 1730.

Matematiki Euler, Hermann in Clairaut so izdelali splošne enačbe za jeklenke, stožce in vrtilne površine.

Euler je na primer uporabil enačbe za prevode v vesolju za preoblikovanje splošne kvadratne površine, tako da njene glavne osi sovpadajo s koordinatnimi osmi.

Euler, Joseph-Louis Lagrange in Gaspard Monge so naredili analitično geometrijo neodvisno od sintetične (neanalitične) geometrije.

Reference

1. Razvoj analitične geometrije (2001). Pridobljeno iz encyclopedia.com
2. Zgodovina analitične geometrije (2015). Pridobljeno z maa.org
3. Analiza (matematika). Pridobljeno od britannica.com
4. Analitična geometrija. Pridobljeno od britannica.com
5. Descartes in rojstvo analitične geometrije. Pridobljeno od sciencedirect.com