NEKOPLANARNI VEKTORJI: DEFINICIJA, POGOJI, VAJE - FIZIČNO - 2026

V ne - vektorji komplanarne so tisti, ki ne delijo isto letalo. Dva prosta vektorja in točka določata eno ravnino. Tretji vektor lahko ali ne deli te ravnine, in če tega ne stori, so nekoplanarni vektorji.

Nekoplanarnih vektorjev ni mogoče predstaviti v dvodimenzionalnih prostorih, kot je deska ali list papirja, ker jih je nekaj v tretji dimenziji. Za pravilno predstavitev morate uporabiti perspektivo.

Slika 1. Koplanarni in nekoplanarni vektorji. (Lastna izdelava)

Če pogledamo sliko 1, so vsi prikazani predmeti strogo v ravnini zaslona, ​​vendar si lahko naši možgani zahvaljujoč perspektivi predstavljajo ravnino (P), ki izhaja iz nje.

Na tej ravnini (P) so vektorji r , s , u , medtem ko vektorja v in w nista v tej ravnini.

Zato so vektorji r , s , u coplanarni ali coplanarni, ker si delijo isto ravnino (P). Vektorji v in w ne delijo ravnine z nobenim od drugih prikazanih vektorjev, zato so nekoplanarni.

Koplanarni vektorji in enačba ravnine

Ravnina je enotno določena, če so v tridimenzionalnem prostoru tri točke.

Recimo, da so te tri točke točka A, točka B in točka C, ki definirajo ravnino (P). S temi točkami je mogoče zgraditi dva vektorja AB = u in AC = v, ki sta po konstrukciji koplanarna z ravnino (P).

Križni produkt (ali navzkrižni produkt) teh dveh vektorjev ima za posledico tretji vektor, ki je pravokoten (ali normalen) nanje in je zato pravokoten na ravnino (P):

n = u X v => n ⊥ u in n ⊥ v => n ⊥ (P)

Vsaka druga točka, ki pripada ravnini (P), mora izpolnjevati, da je vektor AQ pravokoten na vektor n ; To je enakovredno temu, da mora biti pični izdelek (ali pik izdelek) n z AQ enak nič:

n • AQ = 0 (*)

Prejšnji pogoj je enakovreden reči, da:

AQ • ( u X v ) = 0

Ta enačba zagotavlja, da točka Q pripada ravnini (P).

Kartezijeva enačba ravnine

Zgornjo enačbo lahko zapišemo v kartezijanski obliki. V ta namen napišemo koordinate točk A, Q in komponente običajnega vektorja n :

Sestavni deli AQ so torej:

Pogoj, da se vektor AQ nahaja v ravnini (P), je pogoj (*), ki je zdaj zapisan takole:

Izračun ostanka izdelka s piko:

Če je razvit in preurejen, ostane:

Prejšnji izraz je kartezijanska enačba ravnine (P) kot funkcija sestavnih delov vektorja, normalnih do (P), in koordinat točke A, ki ji pripada (P).

Pogoji, da trije vektorji niso koplanarni

Kot je razvidno iz prejšnjega oddelka, pogoj AQ • ( u X v ) = 0 zagotavlja, da je vektor AQ koplanarna do u in v .

Če pokličemo vektor AQ w, lahko potrdimo, da:

w , u in v so koplanarni, če in samo, če w • ( u X v ) = 0.

Nekoplanarnostni pogoj

Če se trojni produkt (ali mešani izdelek) treh vektorjev razlikuje od nič, potem so ti trije vektorji nekoplanarni.

Če je w • ( u X v ) ≠ 0, potem so vektorji u, v in w ne-koplanarni.

Če vnesemo kartezijanske sestavne dele vektorjev u, v in w, lahko pogoj nekoplanarnosti zapišemo takole:

Trojni izdelek ima geometrijsko interpretacijo in predstavlja volumen paralelepipeda, ki ga ustvarjajo trije nekoplanarni vektorji.

Slika 2. Trije nekoplanarni vektorji definirajo paralelepiped, katerega prostornina je modul trojnega produkta. (Lastna izdelava)

Razlog je naslednji; Ko dva vektorja, ki niso koplanarni, vektorsko pomnožimo, dobimo vektor, katerega velikost je območje paralelograma, ki ga ustvarita.

Potem, ko ta vektor skalarno pomnožimo s tretjim nekoplanarnim vektorjem, je projekcija na vektor, pravokoten na ravnino, ki ga prva dva določata, pomnoženo s površino, ki jo določita.

Z drugimi besedami, imamo območje paralelograma, ustvarjeno s prvima dvema, pomnoženo z višino tretjega vektorja.

Nadomestni pogoj nekoplanarnosti

Če imate tri vektorje in nobenega od njih ni mogoče zapisati kot linearno kombinacijo drugih dveh, potem so trije vektorji nekoplanarni. To pomeni, da so trije vektorji u , v in w nekoplanarni, če je pogoj:

α u + β v + γ w = 0

Zadovoljen je le, kadar je α = 0, β = 0 in γ = 0.

Rešene vaje

-Vežba 1

Obstajajo trije vektorji

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) in w = (-1, 2, z)

Upoštevajte, da je z komponenta vektorja w neznana.

Poiščite območje vrednosti, ki jih z lahko sprejme, tako da trije vektorji zajamčeno ne bodo delili iste ravnine.

Rešitev

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Ta izraz smo postavili na vrednost nič

21 z + 18 = 0

in rešujemo za z

z = -18 / 21 = -6/7

Če bi spremenljivka z prevzela vrednost -6/7, bi bili trije vektorji koplanarni.

Torej so vrednosti z, ki zagotavljajo, da so vektorji nekoplanarni, v naslednjem intervalu:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Vežba 2

Poiščite prostornino paralelepipeda, prikazano na naslednji sliki:

Rešitev

Za iskanje volumna paralelepipeda, prikazanega na sliki, bomo določili kartezijanske komponente treh sočasnih nekoplanarnih vektorjev na izvoru koordinatnega sistema. Prvi je vektor u 4m in vzporeden z osjo X:

u = (4, 0, 0) m

Drugi je vektor v v ravnini XY velikosti 3m, ki tvori 60 ° z osjo X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Tretji pa je vektor w 5m in katerega projekcija v ravnini XY tvori 60 ° z osjo X, w pa 30 ° z osjo Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Ko opravimo izračune, imamo: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Reference

1. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. 31–68.
2. Fizično. Modul 8: Vektorji. Pridobljeno: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženirje. Statični 6. izdaja Založba Continental 28-66.
4. McLean, serija W. Schaum. Mehanika za inženirje: statika in dinamika. 3. izdaja McGraw Hill. 1–15.
5. Wikipedija. Vektor. Pridobljeno: es.wikipedia.org