VEKTORJI V VESOLJU: KAKO GRAFICIRATI, APLIKACIJE, VAJE - FIZIČNO - 2026

Vektor v vesolju je vse, kar ga koordinatnem sistemu, ki ga x, y in z zastopa. Večino časa je ravnina xy vodoravna površinska ravnina, os z pa predstavlja višino (ali globino).

Kartezijeve koordinatne osi, prikazane na sliki 1, razdelijo prostor na 8 regij, imenovanih oktanti, kar je analogno temu, kako osi x - y delijo ravnino na 4 kvadrante. Nato bomo imeli 1. oktanta, 2. oktanta in tako naprej.

Slika 1. Vektor v vesolju. Vir: self made.

Slika 1 vsebuje predstavitev vektorja V v prostoru. Nekaj ​​perspektive je potrebno za ustvarjanje iluzije treh dimenzij na ravnini zaslona, ​​kar dosežemo z risanjem poševnega pogleda.

Za risanje 3D-vektorja je treba uporabiti črtkane črte, ki na mreži določajo koordinate projekcije ali "senco" v na xy površini. Ta projekcija se začne pri O in konča na zeleni točki.

Ko pridete tam, morate nadaljevati vzdolž navpičnice do potrebne višine (ali globine) glede na vrednost z, dokler ne dosežete P. Vektor se nariše od O in konča pri P, ki je v primeru v 1. oktanu.

Prijave

Vektorji v vesolju se pogosto uporabljajo v mehaniki in drugih vejah fizike in tehnike, saj strukture, ki nas obdajajo, potrebujejo geometrijo v treh dimenzijah.

Pozicionirni vektorji v prostoru se uporabljajo za pozicioniranje predmetov glede na referenčno točko, imenovano izvor OR, zato so tudi nujna orodja v navigaciji, vendar to še ni vse.

Sile, ki delujejo na konstrukcije, kot so vijaki, nosilci, kabli, opornice in drugo, so vektorske narave in usmerjene v vesolju. Da bi vedeli njegov učinek, je treba poznati njen naslov (in tudi njegovo uporabno mesto).

In pogosto se smer sile pozna, če poznamo dve točki v vesolju, ki pripadata njeni liniji delovanja. Na ta način je sila:

F = F u

Če je F obseg ali velikost sile in U je enota vektor (modul 1) usmerjeni vzdolž linije akcijskega F .

Notacija in 3D vektorske predstavitve

Preden se lotimo reševanja nekaterih primerov, bomo na kratko pregledali notacijo 3D vektorja.

V primeru na sliki 1 ima vektor v, katerega izhodiščna točka sovpada z začetkom O in katerega konec je točka P, ima pozitivne xyz koordinate, medtem ko je y koordinata negativna. Te koordinate so: x ₁ , y ₁ , z ₁ , ki so natančno koordinate P.

Torej, če imamo vektor, povezan z izvorom, torej katerega izhodišče sovpada z O, je zelo enostavno navesti njegove koordinate, ki bodo tiste skrajne točke ali P. Če želite razlikovati med točko in vektorjem, bomo uporabili, da zadnje krepke črke in oklepaji, kot je ta:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Medtem ko je točka P označena z oklepaji:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Drugi prikaz uporablja enote vektorjev i , j in k, ki definirajo tri smeri prostora na osi x, y in z.

Ti vektorji so pravokotni drug na drugega in tvorijo pravokotno podlago (glej sliko 2). To pomeni, da lahko 3D vektor zapišemo v smislu:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Koti in režiserjeve kosinade vektorja

Slika 2 prikazuje tudi režiserske kote γ ₁ , γ ₂ in γ _3, ki jih vektor v naredi z osi x, y in z. Poznavanje teh kotov in jakost vektorja je povsem določeno. Poleg tega kosinusi režiserskih kotov izpolnjujejo naslednje razmerje:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Slika 2. Vektorji enot i, j in k določajo 3 prednostne smeri prostora. Vir: self made.

Rešene vaje

-Vežba 1

Na sliki 2 so koti γ ₁ , γ ₂ in γ _3, ki jih vektor v modula 50 tvori s koordinatnimi osi: 75,0 °, 60,0 ° in 34,3 °. Poiščite kartezijanske sestavine tega vektorja in jih predstavite v smislu enotnih vektorjev i , j in k .

Rešitev

Projekcija vektorja v osi _x je v _x = 50. cos 75º = 12.941. Na enak način je projekcija v na os y v _y = 50 cos 60 º = 25 in končno na os z je v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Zdaj se v lahko izrazi kot:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Vežba 2

Poiščite napetosti v vsakem od kablov, ki držijo vedro na sliki, ki je v ravnovesju, če je njegova teža 30 N.

Slika 3. Diagram napetosti za vajo 2.

Rešitev

Na posodi shema prostega telesa kaže, da T _D (zelena) izravnava težo W (rumena), torej T _D = W = 30 N.

Na vozlišču je vektor T _D usmerjen navpično navzdol, nato pa:

T _D = 30 (- k ) N.

Če želite določiti preostale napetosti, sledite tem korakom:

1. korak: Poiščite koordinate vseh točk

A = (4,5,0,3) (A je na ravnini stene xz)

B = (1,5,0,0) (B je na osi x)

C = (0, 2,5, 3) (C je na ravnini stene in z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D je na vodoravni xy ravnini)

2. korak: Poiščite vektorje v vsaki smeri, tako da odštejete koordinate konca in začetka

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; eno; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

3. korak: Izračunajte module in vektorje enot

Enoto vektorja dobimo z izrazom: u = r / r, pri čemer je r (krepko) vektor, r (ne krepko) pa modul omenjenega vektorja.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; eno; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -one; 0>

u _D = <0; 0; -1>

4. korak: Vse napetosti izrazite kot vektorje

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -one; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

5. korak: Uporabite stanje statičnega ravnovesja in rešite sistem enačb

Nazadnje se v vedro uporabi pogoj statičnega ravnotežja, tako da je vektorska vsota vseh sil na vozlišču enaka nič:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Ker so napetosti v vesolju, bo to povzročilo sistem treh enačb za vsako komponento (x, y in z) napetosti.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Rešitev je: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Reference

1. Bedford, 2000. A. Inženirska mehanika: Statika. Addison Wesley. 38–52.
2. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. 31–68.
3. Fizično. Modul 8: Vektorji. Pridobljeno: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženirje. Statični 6. izdaja Založba Continental. 15–53.
5. Kalkulator vektorskih dodatkov. Pridobljeno: 1728.org