TRIKOTNIKI: ZGODOVINA, ELEMENTI, RAZVRSTITEV, LASTNOSTI - ZNANOST - 2025

V trikotniki ravni in zaprta geometrijskih likov, ki sestoji iz treh straneh. Trikotnik je določen s tremi črtami, ki sekajo dva po dva in tvorijo tri kote med seboj. Trikotna oblika, polna simbolike, je prisotna v neštetih objektih in kot element konstrukcije.

Izvor trikotnika se v zgodovini izgublja. Iz arheoloških dokazov je razvidno, da ga je primitivno človeštvo dobro poznalo, saj arheološki ostanki potrjujejo, da se je uporabljalo v orodju in orožju.

Slika 1. Trikotniki. Vir: Publicdomainpictures.

Očitno je tudi, da so stari Egipčani imeli trdno znanje geometrije in zlasti trikotne oblike. Odsevali so se v arhitekturnih elementih njegovih monumentalnih stavb.

V papirusu Rhind boste našli formule za izračun površin trikotnikov in trapezov, pa tudi nekaj zvezkov in drugih konceptov rudimentarne trigonometrije.

Z njihove strani je znano, da so Babilonci znali izračunati površino trikotnika in druge geometrijske figure, ki so jih uporabljali v praktične namene, kot so delitve zemlje. Poznavali so tudi številne lastnosti trikotnikov.

Vendar pa so stari Grki sistematizirali številne danes razširjene geometrijske koncepte, čeprav velik del tega znanja ni bil izključujoč, saj so ga gotovo delili s temi drugimi starodavnimi civilizacijami.

Trikotni elementi

Elementi katerega koli trikotnika so prikazani na naslednji sliki. Obstajajo tri: točki, stranice in koti.

Slika 2. Zapis trikotnikov in njihovih elementov. Vir: Wikimedia Commons, priredil F. Zapata

-Vertices : so presečišča črt, katerih odseki določajo trikotnik. Na zgornji sliki na primer premica L _AC, ki vsebuje odsek AC, seka črto L _AB, ki vsebuje odsek AB natančno v točki A.

- Strani : med vsakim parom tock se nariše odsek črte, ki predstavlja eno stran trikotnika. Ta segment lahko označimo s končnimi črkami ali z uporabo posebne črke, da ga pokličemo. V primeru slike 2 se stran AB imenuje tudi "c".

- Koti : med vsako stranjo s skupno točko izvira kot, katerega točka sovpada z vrhom trikotnika. Na splošno je kot označen z grško črko, kot je navedeno na začetku.

Če želite sestaviti določen trikotnik z dano obliko in velikostjo, imejte le enega od naslednjih podatkovnih nizov:

- Tri strani, kar je očitno v primeru trikotnika.

-Dve strani in kot med njima, takoj pa se nariše preostala stran.

-Dva (notranja) kota in stran med njima. Z razširitvijo se obe manjkajoči strani narišeta in trikotnik je pripravljen.

Oznaka

Na splošno se v trikotnem zapisu uporabljajo naslednje konvencije: točki so označene z velikimi latiničnimi črkami, stranice z malimi črkami in koti z grškimi črkami (glej sliko 2).

Na ta način se poimenuje trikotnik glede na njegove tocke. Na primer, trikotnik na levi na sliki 2 je trikotnik ABC, tisti na desni pa trikotnik A'B'C '.

Možna je tudi uporaba drugih zapisov; na primer je kot α na sliki 2 označen kot BAC. Upoštevajte, da je črka vrha v sredini, črke pa v nasprotni smeri urinega kazalca.

Drugič se za označevanje kota uporablja karet:

α = ∠A

Vrste trikotnikov

Za razvrščanje trikotnikov obstaja več kriterijev. Najbolj običajna stvar je, da jih razvrstite glede na merilo njihovih strani ali glede na merilo njihovih kotov. Trikotniki so, odvisno od mere njihovih strani, lahko: lestvice, enake ali enakostranični:

-Scaleno : njegove tri strani so različne.

-Isósceles : ima dve enaki strani in eno različno stran.

-Equilátero : tri strani so enake.

Slika 3. Razvrstitev trikotnikov po njihovih straneh. Vir: F. Zapata

Trikotniki so po meri njihovih kotov imenovani tako:

- ovira , če je eden od notranjih kotov večji od 90 °.

- akutni kot , kadar so trije notranji koti trikotnika ostri, to je manjši od 90 °

- Pravokotnik , če je eden od njegovih notranjih kotov vreden 90 °. Strani, ki tvorijo 90 °, se imenujejo noge, stran nasproti pravega kota pa hipotenuza.

Slika 4. Razvrstitev trikotnikov po njihovih notranjih kotih. Vir: F. Zapata.

Congruence trikotnikov

Kadar imata dva trikotnika enako obliko in sta enaki velikosti, naj bi bila skladna. Seveda je kongruenca povezana z enakostjo, zakaj torej geometrija govori o "dveh kongruentnih trikotnih" namesto o "dveh enakih trikotnikov"?

No, raje uporabljamo izraz "kongruenca", da se držimo resnice, saj imata lahko dva trikotnika enako obliko in velikost, vendar sta v ravnini usmerjena drugače (glej sliko 3). Z vidika geometrije ne bi bili več popolnoma enaki.

Slika 5. Kongruentni trikotniki, vendar ne nujno enaki, saj je njihova usmeritev v ravnini drugačna. Vir: F. Zapata.

Merila skladnosti

Če se zgodi kaj od naštetega, sta dva trikotnika skladna:

-Trije strani merijo enako (spet je to najbolj očitno).

-Imata dve enaki strani in z enakim kotom med njima.

-Imajte dveh enakih notranjih kotov in stran med temi koti je enaka.

Kot je razvidno, gre za dva trikotnika, ki izpolnjujeta potrebne pogoje, tako da sta oblika in velikost, ko sta sestavljeni, popolnoma enaki.

Merila skladnosti so zelo uporabna, saj je v praksi treba nešteto kosov in mehanskih delov izdelati serijsko, tako da so njihove mere in oblika popolnoma enaki.

Podobnost trikotnikov

Trikotnik je podoben drugemu, če imajo enako obliko, tudi če so različnih velikosti. Za zagotovitev enake oblike je potrebno, da imajo notranji koti enako vrednost in da so stranice sorazmerne.

Slika 6. Dva podobna trikotnika: njuni velikosti se razlikujeta, vendar sta njuna razmerja enaka. Vir: F. Zapata.

Tudi trikotniki na sliki 2 so podobni kot tisti na sliki 6. Na ta način:

Kar zadeva strani, veljajo naslednja razmerja podobnosti:

Lastnosti

Temeljne lastnosti trikotnikov so naslednje:

-Vsota notranjih kotov katerega koli trikotnika je vedno 180 °.

-Za kateri koli trikotnik je vsota njegovih zunanjih kotov enaka 360 °.

- Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki nista poleg meja.

Teoremi

Thalesova prva teorema

Pripisujejo jih grškemu filozofu in matematiku Thalesu iz Mileta, ki je razvil več izrek, povezanih z geometrijo. Prva od njih navaja naslednje:

Slika 7. Thalesov izrek. Vir: F. Zapata.

Z drugimi besedami:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Talesov prvi izrek je uporaben za trikotnik, na primer imamo modri trikotnik ABC na levi strani, ki ga seka z rdečimi vzporednicami na desni:

Slika 8. Thalesov izrek in podobni trikotniki.

Vijolični trikotnik AB'C 'je podoben modrem trikotniku ABC, zato lahko po Thalesovem teoremu zapišemo naslednje:

AB´ / AC´ = AB / AC

In skladno je s tem, kar je bilo prej razloženo v segmentu podobnosti trikotnikov. Mimogrede, vzporedne črte so lahko tudi navpične ali vzporedne hipotenuzi in podobni trikotniki dobimo na enak način.

Thalesov drugi izrek

Ta izrek se nanaša tudi na trikotnik in krog s središčem O, kot so prikazani spodaj. Na tej sliki je AC premer oboda in B je točka na njej, B se razlikuje od A in B.

Thalesov drugi izrek pravi, da:

Slika 9. Thalesov drugi izrek. Vir: Wikimedia Commons. Induktivna obremenitev.

Pitagorov izrek

To je eden najbolj znanih teoremov v zgodovini. Nastane zaradi grškega matematika Pitagore iz Samosa (569 - 475 pr.n.št.) in se uporablja za desni trikotnik. Tako pravi:

Če vzamemo za primer modri trikotnik na sliki 8 ali vijolični trikotnik, saj sta oba pravokotnika, potem lahko trdimo, da:

AC ² = AB ² + BC ² (modri trikotnik)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (vijolični trikotnik)

Območje trikotnika

Območje trikotnika je dano z izdelkom njegove osnove a in njegove višine h, deljeno z 2. In s trigonometrijo lahko to višino zapišemo kot h = b sinθ.

Slika 10. Območje trikotnika. Vir: Wikimedia Commons.

Primeri trikotnikov

Primer 1

Tales je s svojim prvim izrekom uspel izmeriti višino Velike piramide v Egiptu, ki je eno od sedmih čudes starodavnega sveta, in sicer tako, da je izmeril senco, ki jo je projeciral na tla in ki jo je projeciral kolobar, ki ga je pognal v tla.

To je oris postopka, ki mu sledi Tales:

Slika 11. Shema za merjenje višine Velike piramide po podobnosti trikotnikov. Vir: Wikimedia Commons. Dake

Thales je pravilno domneval, da sončni žarki vzporedno streljajo. S tem v mislih si je zamislil velik desni trikotnik na desni.

Tam je D višina piramide in C je razdalja nad tlemi, merjena od središča do sence, ki jo je piramida vrgla na tla puščave. Morda je naporno izmeriti C, vendar je vsekakor lažje kot meriti višino piramide.

Na levi strani je majhen trikotnik z nogama A in B, kjer je A višina kolke, navpično v tla in B je senca, ki jo vlije. Obe dolžini sta merljivi, prav tako C (C je enaka dolžini sence + polovici dolžine piramide).

Torej, po podobnosti trikotnikov:

A / B = D / C

In višina Velike piramide se izkaže za: D = C. (A / B)

Primer 2

Končniki v gradbeništvu so konstrukcije iz tankih ravnih lesenih palic, ki se uporabljajo kot podpora v mnogih stavbah. Znani so tudi kot trus, trus ali trus.

V njih so trikotniki vedno prisotni, saj so palice med seboj povezane na točkah, imenovanih vozlišča, ki jih je mogoče pritrditi ali artikulirati.

Slika 12. V okvirju tega mostu je prisoten trikotnik. Vir: PxHere.

Primer 3

Metoda, znana kot triangulacija, omogoča pridobitev lokacije nedostopnih točk, saj poznamo druge razdalje, ki jih je lažje izmeriti, pod pogojem, da je med vrhovi oblikovan trikotnik, ki vključuje želeno mesto.

Na naslednji sliki želimo na primer vedeti, kje je ladja v morju, označeno kot B.

Slika 13. Triangulacijska shema za lociranje ladje. Vir: Wikimedia Commons. Colette

Najprej se meri razdalja med dvema točkama na obali, ki sta na sliki A in C. Nato je treba s pomočjo teodolita, naprave, ki se uporablja za merjenje navpičnih in vodoravnih kotov, določiti kota α in β.

Z vsemi temi informacijami je zgrajen trikotnik, katerega zgornja meja je ladja. Ostaja izračunavanje kota γ, s pomočjo lastnosti trikotnikov in razdalj AB in CB z uporabo trigonometrije za določitev položaja ladje v morju.

Vaje

Vaja 1

Na prikazani sliki so sončni žarki vzporedni. Na ta način 5 metrov visoko drevo na tla meče 6 metrsko senco. Hkrati je senca stavbe 40 metrov. Po Thalesovi prvi teoremi poiščite višino zgradbe.

Slika 14. Shema za rešeno vajo 1. Vir: F. Zapata.

Rešitev

Rdeči trikotnik ima stranice 5 oziroma 6 metrov, modri pa višino H - višino stavbe - in podlago 40 metrov. Oba trikotnika sta si podobna:

Vaja 2

Morate vedeti vodoravno razdaljo med dvema točkama A in B, vendar se nahajajo na zelo neravnem terenu.

Približno na srednji točki (P _m ) omenjenega terena je izstopajoča višina 1,75 metra. Če merilni trak označuje 26 metrov dolžine, merjeno od A do oznake, in 27 metrov od B do iste točke, poiščite razdaljo AB.

Slika 15. Shema za rešeno vajo 2. Vir: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija in trigonometrija.

Rešitev

Pitagorov izrek je uporabljen na enem od dveh pravih trikotnikov na sliki. Začenši s tisto na levi:

Hipotenuza = c = 26 metrov

Višina = a = 1,75 metra

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Zdaj namestite Pitagore v trikotniku na desni, tokrat c = 27 metrov, a = 1,75 metra. S temi vrednostmi:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Oddaljenost AB ugotovimo tako, da dodamo te rezultate:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Ravna in vesoljska geometrija. Srednjeameriški kulturni.
2. Barredo, D. Geometrija trikotnika. Pridobljeno: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometrija in trigonometrija. Druga izdaja Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Pridobljeno: gutenberg.org.
5. Wikipedija. Trikotnik. Pridobljeno: es. wikipedia.org.