BINOMSKI IZREK: DOKAZ IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2024

Binomski izrek je enačba, ki nam pove, kako razviti izraz obliki (a + b) ⁿ nekaj naravno število n. Binom je nič drugega kot vsota dveh elementov, kot je (a + b). Omogoča nam tudi, da za izraz, ki ga daje ^k b ^n-k, vemo, kaj je spremljajoči koeficient.

Ta izrek običajno pripisujemo angleškemu izumitelju, fiziku in matematiku Siru Isaacu Newtonu; Vendar pa so bili najdeni različni zapisi, ki kažejo na to, da je bil njegov obstoj znan že na Bližnjem vzhodu, okoli leta 1000.

Kombinacijske številke

Binomski izrek nam matematično pove naslednje:

V tem izrazu a in b sta realni številki in n je naravno število.

Preden predstavimo predstavitev, si oglejmo nekaj osnovnih pojmov, ki so potrebni.

Kombinacijsko število ali kombinacije n v k so izražene na naslednji način:

Ta obrazec izraža vrednost, koliko podskustov s k elementi lahko izberemo iz niza n elementov. Njegov algebrski izraz podaja:

Poglejmo primer: predpostavimo, da imamo skupino sedmih kroglic, od katerih sta dve rdeči, preostali pa modri.

Želimo vedeti, na koliko načinov jih lahko razporedimo po vrsti. Eden od načinov bi lahko bil, da dve rdeči postavite na prvi in ​​drugi položaj, preostale kroglice pa na preostale položaje.

Podobno kot v prejšnjem primeru bi lahko rdečim kroglicam dali prvi in ​​zadnji položaj, ostale pa zasedli z modrimi kroglicami.

Zdaj je učinkovit način za štetje, na kakšen način lahko razporedimo kroglice v vrsti z uporabo kombinacijskih številk. Vsako pozicijo lahko vidimo kot element naslednjega niza:

Nato ostane samo izbrati podmnožico dveh elementov, v kateri vsak od teh elementov predstavlja položaj, ki ga bodo zasedale rdeče kroglice. To izbiro lahko opravimo glede na odnos, ki ga poda:

Na ta način imamo 21 načinov, kako naročiti te kroglice.

Splošna ideja tega primera bo zelo koristna pri dokazovanju binomnega izrekanja. Poglejmo poseben primer: če je n = 4, imamo (a + b) ⁴ , kar ni nič drugega kot:

Ko razvijamo ta izdelek, nam ostane vsota izrazov, dobljenih z množenjem enega elementa vsakega od štirih dejavnikov (a + b). Tako bomo imeli izraze, ki bodo v obliki:

Če želimo izraz pridobiti v obliki a ⁴ , moramo samo pomnožiti, kot sledi:

Upoštevajte, da obstaja le en način za pridobitev tega elementa; a kaj se zgodi, če zdaj iščemo izraz obrazca a ² b ² ? Ker sta "a" in "b" resnična števila in je torej zakon komutacije veljaven, imamo en način, da pridobimo ta izraz, da se pomnožimo s člani, kot kažejo puščice.

Izvajanje vseh teh operacij je običajno nekoliko mučno, toda če pojem "a" vidimo kot kombinacijo, kjer želimo vedeti, na koliko načinov lahko izberemo dva "a" iz nabora štirih dejavnikov, lahko uporabimo idejo iz prejšnjega primera. Torej, imamo naslednje:

Tako vemo, da bomo imeli v končnem razširitvi izraza (a + b) ⁴ točno 6a ² b ² . Če uporabite druge ideje za druge elemente, morate:

Nato dodamo prej pridobljene izraze in imamo to:

To je formalni dokaz za splošni primer, kjer je "n" poljubno naravno število.

Demonstracija

Upoštevajte, da so izrazi, ki ostanejo z razširitvijo (a + b) ⁿ , oblike a ^k b ^n-k , kjer je k = 0,1,…, n. Z uporabo ideje prejšnjega primera lahko izberemo k, spremenljivke «a» faktorjev «n»:

Če na ta način izberemo, samodejno izberemo nk spremenljivke "b". Iz tega sledi, da:

Primeri

Glede na (a + b) ⁵ , kakšen bi bil njegov razvoj?

Z binomnim izrekom imamo:

Binomski izrek je zelo koristen, če imamo izraz, v katerem želimo vedeti, kakšen je koeficient določenega izraza, ne da bi morali narediti popolno ekspanzijo. Kot primer lahko vzamemo naslednjo neznano: kolikšen je koeficient x ⁷ in ⁹ pri razširitvi (x + y) ¹⁶ ?

Po binomnem izrekanju imamo koeficient:

Drugi primer bi bil: kakšen je koeficient x ⁵ in ⁸ pri razširitvi (3x-7y) ¹³ ?

Najprej izraz napišemo na priročen način; to je:

Nato uporabimo binomni izrek, da je iskani koeficient takrat, ko imamo k = 5

Drug primer uporabe tega izrekanja je v dokazu nekaterih skupnih identitet, kot so tiste, ki jih bomo omenili v nadaljevanju.

Identiteta 1

Če je «n» naravno število, imamo:

Za dokaz uporabimo binomni izrek, pri čemer tako «a» kot «b» vzameta vrednost 1. Potem imamo:

Na ta način smo dokazali prvo identiteto.

Identiteta 2

Če je "n" naravno število, potem

Z binomnim izrekom imamo:

Še ena demonstracija

Za binomski izrek lahko naredimo drugačen dokaz z uporabo induktivne metode in Pascalove identitete, ki nam pove, da sta «n» in «k» pozitivna cela števila, ki izpolnjujejo n ≥ k, potem:

Indukcijski dokaz

Poglejmo najprej, da drži induktivna osnova. Če je n = 1, imamo:

Dejansko vidimo, da je izpolnjeno. Zdaj naj bo n = j tak, da:

Želimo videti, da je za n = j + 1 res, da:

Torej moramo:

Po hipotezi vemo, da:

Nato z uporabo lastnosti distribucije:

Pozneje, pri razvoju vsakega povzetka, imamo:

Če se združimo na primeren način, imamo to:

Z identiteto pascala imamo:

Na koncu upoštevajte, da:

Zato vidimo, da binomski izrek velja za vsa "n", ki pripadajo naravnim številom, in s tem se dokaz konča.

Radovednosti

Kombinatorialno število (nk) imenujemo tudi binomski koeficient, ker se ravno v koeficientu pojavi binomni (a + b) ⁿ .

Isaac Newton je posplošil ta izrek za primer, v katerem je eksponent resnično število; Ta izrek je znan kot Newtonov binomni izrek.

Že v starih časih je bil ta rezultat znan po posebnem primeru, v katerem je n = 2. Ta primer je omenjen v Euclidovih elementih.

Reference

1. Johnsonbaugh Richard. Diskretna matematika. PHH
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Dr. Seymour Lipschutz in Marc Lipson. Diskretna matematika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskretna in kombinirana matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Zelena zvezda Luis. . Diskretna in kombinirana antropoza matematike