KAJ SO KOPLANARNI VEKTORJI? (Z REŠENIMI VAJAMI) - FIZIČNO - 2026

V vektorji koplanarne ali v isti ravnini so tiste, ki se nahajajo na isti ravnini. Kadar sta samo dva vektorja, sta ta vedno koplanarna, saj obstaja neskončno ravnina, je vedno mogoče izbrati takšnega, ki ju vsebuje.

Če imate tri ali več vektorjev, je mogoče, da nekateri niso v isti ravnini kot drugi, zato jih ne bi mogli šteti za koplanarne. Naslednja slika prikazuje niz koplanarnih vektorjev, označenih s krepkimi A , B , C in D :

Slika 1. Štirje koplanarni vektorji. Vir: self made.

Vektorji so povezani z vedenjem in lastnostmi fizikalnih veličin, pomembnih za znanost in inženiring; na primer hitrost, pospešek in sila.

Sila povzroči različne učinke na predmet, kadar se spreminja način uporabe, na primer s spreminjanjem intenzivnosti, smeri in smeri. Tudi pri spreminjanju le enega od teh parametrov so rezultati bistveno drugačni.

V mnogih aplikacijah, tako v statiki kot dinamiki, so sile, ki delujejo na telo, na isti ravnini, zato veljajo za koplanarne.

Pogoji, da so vektorji koplanarni

Da so trije vektorji koplanarni, morajo ležati na isti ravnini in to se zgodi, če izpolnjujejo katerega od naslednjih pogojev:

-Vektorji so vzporedni, zato so njihove komponente sorazmerne in linearno odvisne.

- Vaš mešani izdelek je ničen.

-Če imate tri vektorje in kateri koli od njih se lahko zapiše kot linearna kombinacija drugih dveh, so ti vektorji koplanarni. Na primer, vektor, ki je rezultat vsote dveh drugih, vsi trije so v isti ravnini.

Pogoj koplanarnosti se lahko nastavi na naslednji način:

Mešani izdelek med tremi vektorji

Mešani produkt med vektorji je definiran s tremi vektorji u , v in w, kar ima za posledico skalar, ki je posledica izvajanja naslednje operacije:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Najprej se izvede navzkrižni produkt v oklepajih: v x w , katerega rezultat je normalen vektor (pravokoten) na ravnino, v kateri ležijo v in w .

Če je u na isti ravnini kot v in w , mora biti skalarni produkt (točkovni produkt) med u in navedenim normalnim vektorjem enak 0. Na ta način se preveri, da so trije vektorji koplanarni (ležijo na isti ravnini).

Če mešani produkt ni nič, je njegov rezultat enak volumnu paralelepipeda, ki ima vektorja u , v in w kot sosednji strani.

Prijave

Koplanarne, sočasne in nekolinearne sile

Vse sočasne sile se uporabljajo na isti točki. Če so tudi koplanarne, jih lahko nadomestimo z eno samo, ki se imenuje rezultantna sila in ima enak učinek kot prvotne sile.

Če je telo v ravnovesju po zaslugi treh koplanarnih, sočasnih in nekokolinearnih (ne vzporednih) sil, imenovanih A , B in C, Lamyjev izrek kaže, da je razmerje med temi silami (velikostmi) naslednje:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Z α, β in γ kot nasprotni koti glede na uporabljene sile, kot je prikazano na naslednji sliki:

Slika 2. Na objekt delujejo tri koplanarne sile A, B in C. Vir: Kiwakwok na angleški Wikipediji

Rešene vaje

-Vežba 1

Poiščite vrednost k, tako da so naslednji vektorji koplanarni:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Rešitev

Ker imamo sestavne dele vektorjev, se uporablja merilo mešanega izdelka, torej:

u ( v x w ) = 0

Najprej rešite v x w. Vektorji bodo izraženi z enotnimi vektorji i , j in k, ki ločujejo tri pravokotne smeri v prostoru (širina, višina in globina):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Zdaj upoštevamo skalarni produkt med u in vektorjem, ki je bil rezultat prejšnje operacije, pri čemer je operacija nastavljena na 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Iskana vrednost je: k = - 6

Torej je vektor u :

u = <-3, -6, 2>

-Vežba 2

Na sliki je prikazan predmet, katerega teža je W = 600 N, ki visi v ravnovesju, zahvaljujoč kablom, nameščenim pod koti, prikazanimi na sliki 3. Ali je mogoče v tej situaciji uporabiti Lamyjev izrek? V vsakem primeru pa našli amplitud T ₁ , T ₂ in T ₃ , ki omogočajo ravnotežje mogoče.

Slika 3. Teža visi v ravnovesju pod delovanjem treh prikazanih napetosti. Vir: self made.

Rešitev

Lamyjev izrek je v tem primeru uporaben, če upoštevamo vozlišče, na katerega so uporabljene tri napetosti, saj predstavljajo sistem koplanarnih sil. Najprej je narejen diagram prostega telesa za visečo težo, da se določi velikost T _3:

Slika 4. Diagram prostega telesa za obešanje uteži. Vir: self made.

Iz ravnotežnega stanja izhaja, da:

Koti med silami so na naslednji sliki označeni z rdečo barvo, zlahka je mogoče preveriti, ali je njihova vsota 360 °. Zdaj je mogoče uporabiti Lamyjev izrek, saj sta ena izmed sil in trije koti med njimi znani:

Slika 5.- V rdeči koti se uporabi Lamyjev izrek. Vir: self made.

T ₁ / sin 127º = Š / sin 106º

Zato: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498.5 N

Ponovno se uporablja Lamyjev izrek za rešitev za T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Reference

1. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. 31–68.
2. Fizično. Modul 8: Vektorji. Pridobljeno: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženirje. Statični 6. izdaja Založba Continental 28-66.
4. McLean, serija W. Schaum. Mehanika za inženirje: statika in dinamika. 3. izdaja McGraw Hill. 1–15.
5. Wikipedija. Vektor. Pridobljeno: es.wikipedia.org.