VZTRAJNOSTNI MOMENT: FORMULE, ENAČBE IN PRIMERI IZRAČUNA - FIZIČNO - 2026

Vztrajnostni moment togega telesa glede na določeno vrtilno os predstavlja odpornost na spremembo njene kotne hitrosti okoli omenjene osi. Sorazmerna je z maso in tudi z lokacijo vrtenja osi, saj se lahko telo, odvisno od njegove geometrije, lažje vrti okoli določenih osi kot pri drugih.

Predpostavimo velik predmet (sestavljen iz številnih delcev), ki se lahko vrti okoli osi. Predpostavimo, da sila F deluje tangencialno na masni element Δm _i , ki ustvari navor ali trenutek, ki ga poda τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektor r _i je položaj Δm _i (glej sliko 2).

Slika 1. Inercijski trenutki različnih figur. Vir: Wikimedia Commons.

Ta trenutek je pravokoten na rotacijsko ravnino (smer + k = zapuščanje papirja). Ker sta vektor sile in radialni položaj vedno pravokotni, ostane navzkrižni izdelek:

τ _neto = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Slika 2. Delček, ki v vrtenju pripada trdni trdni snovi. Vir: Serway, R. 2018. Fizika za znanost in inženiring. Zvezek 1. Cengage Learning.

Pospešek a _i predstavlja tangencialno komponento pospeška, saj radialni pospešek ne prispeva k navoru. Kot funkcijo kotnega pospeška α lahko označimo, da:

Zato je neto navor videti takole:

τ _neto = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Kotni pospešek α je enak za celoten objekt, zato nanj ne vpliva podpis "i" in lahko zapusti seštevek, ki je natančno trenutek vztrajnosti predmeta, ki ga simbolizira črka I:

To je vztrajnostni moment diskretne porazdelitve mase. Ko je porazdelitev neprekinjena, seštevek nadomesti s integralom in Δm postane masni diferencial dm. Integral se izvede nad celotnim objektom:

Iercijske enote v mednarodnem sistemu SI so kg xm ² . Gre za skalarno in pozitivno količino, saj je produkt mase in kvadrata razdalje.

Primeri izračuna

Razširjeni objekt, kot so palica, disk, krogla ali drugo, katerega gostota ρ je konstantna in vemo, da je gostota razmerje med maso in prostornino, se razlika mase dm zapiše kot:

Namestitev v integral v trenutku vztrajnosti imamo:

To je splošni izraz, ki velja za tridimenzionalni objekt, katerega volumen V in položaj r sta funkciji prostorskih koordinat x, y in z. Upoštevajte, da je gostota zunaj integral.

Gostota ρ je znana tudi kot nasipna gostota, če pa je predmet zelo plosko, kot je list ali zelo tanek in ozek kot palica, lahko uporabimo druge oblike gostote, poglejmo:

- Za zelo tanek list je gostota, ki jo uporabljamo σ, površinska gostota (masa na enoto površine) in dA razlika v površini.

- In če gre za tanko palico, pri kateri je pomembna samo dolžina, se uporabljata linearna gostota mase λ in razlika v dolžini, glede na os, ki se uporablja kot referenca.

V naslednjih primerih se vsi predmeti štejejo za toge (ne deformabilne) in imajo enakomerno gostoto.

Vztrajnost tankega droga glede na os, ki poteka skozi njegovo sredino

Tu bomo izračunali inervacijski moment tanke, toge, homogene palice dolžine L in mase M glede na os, ki gre skozi medij.

Najprej je treba vzpostaviti koordinatni sistem in zgraditi figuro z ustrezno geometrijo, kot je ta:

Slika 3. Geometrija za izračun inercijskega trenutka tanke palice glede na navpično os, ki poteka skozi njegovo središče. Vir: F. Zapata.

Os vrtenja vzdolž droga in osi y je bila izbrana kot vrtenja os. Postopek za določitev integral zahteva tudi izbiro masnega diferenciala na drogu, imenovanega dm, ki ima različno dolžino dx in je nameščen v poljubnem položaju x glede na središče x = 0.

Po definiciji linearne masne gostote λ:

Ker je gostota enotna, kar velja za M in L, velja tudi za dm in dx:

Po drugi strani je masni element v položaju x, tako da z zamenjavo te geometrije v definiciji dobimo določen integral, katerega meje so konci palice glede na koordinatni sistem:

Nadomestitev linearne gostote λ = M / L:

Če želite najti vztrajnostni moment palice glede na drugo vrtilno os, na primer tisto, ki gre skozi eno od njenih skrajnosti, lahko uporabite Steinerjev izrek (glejte vajo, rešeno na koncu) ali opravite neposreden izračun, podoben prikazanemu tukaj, vendar spreminjanje geometrije na ustrezen način.

Vztrajnost diska glede na os, ki poteka skozi njegovo sredino

Zelo tanek disk zanemarljive debeline je ravna figura. Če je masa enakomerno porazdeljena po celotni površini A, je gostota mase σ:

Tako dm kot dA ustrezata masi in površini diferencialnega obroča, prikazanem na sliki. Domnevali bomo, da se celoten sklop vrti okoli osi y.

Lahko si predstavljate, da je disk sestavljen iz številnih koncentričnih obročev polmera r, vsak s svojim inercijskim momentom. Če dodamo prispevke vseh obročev, dokler ne dosežemo polmera R, bomo imeli skupni vztrajnostni moment diska.

Slika 4. Geometrija za izračun vztrajnosti diska glede na osno os. Vir: F. Zapata.

Kjer M predstavlja celotno maso diska. Površina diska je odvisna od njegovega polmera r kot:

Izvedba glede na r:

Nadomeščanje zgoraj navedenega v opredelitvi I:

Z zamenjavo σ = M / (π.R ² ) dobimo:

Inercija trdne krogle približno premera

Kroglo polmera R lahko štejemo kot niz diskov, zloženih drug na drugega, kjer ima vsak disk neskončno najmanjše mase dm, polmera r in debeline dz vztrajnostni moment, ki ga poda:

Če želimo najti to razliko, smo preprosto vzeli formulo iz prejšnjega odseka in M ​​in R nadomestili za dm in r. Takšen disk lahko vidimo v geometriji slike 5.

Slika 5. Geometrija za izračun inervacije trdne krogle polmera R glede na os, ki poteka skozi premer. Vir: F. Zapata.

Z dodajanjem vseh neskončno najmanjših inercijskih trenutkov zloženih diskov dobimo skupni vztrajnostni moment krogle:

Kar je enako:

Če želite rešiti integral, morate dm ustrezno izraziti. Kot vedno je doseženo iz gostote:

Prostornina diferencialnega diska je:

Višina diska je debelina dz, medtem ko je površina osnove πr ² , torej:

In če bi zamenjali predlagani integral, bi bilo videti tako:

Pred integracijo moramo upoštevati, da je r - polmer diska - odvisen od z in R - polmer krogle -, kot je razvidno iz slike 5. Uporaba pitagorejskega izrekanja:

Kar nas vodi do:

Če želimo integrirati v celotno sfero, upoštevamo, da se z razlikuje med –R in R:

Vemo, da je ρ = M / V = ​​M / končno po poenostavitvi:

Inercijski moment trdnega valja v primerjavi z osno osjo

Za ta objekt se uporablja metoda, podobna tisti, ki se uporablja za kroglo, le da je tokrat lažje, če je valj domišljen, da je sestavljen iz valjastih lupin s polmerom r, debeline dr in višine H, kot da bi bile plasti čebule. .

Slika 6. Geometrija za izračun vztrajnosti trdnega valja valja polmera R glede na osno os. Vir: Serway, R. 2018. Fizika za znanost in inženiring. 1. zvezek.

Prostornina dV valjaste plasti je:

Zato je masa lupine:

Ta izraz je nadomeščen v definicijskem inercijskem trenutku:

Zgornja enačba kaže, da vztrajnostni moment valja ni odvisen od njegove dolžine, temveč samo od njegove mase in polmera. Če bi se L spremenil, bi vztrajnostni moment glede na osno os ostal enak. Iz tega razloga I valj sovpada s predhodno izračunanim tankim diskom.

Vztrajnost pravokotnega lista glede na os, ki poteka skozi njegovo sredino

Kot os vrtenja je bila izbrana horizontalna y os. Spodnja slika prikazuje geometrijo, potrebno za izvedbo integracije:

Slika 7. Geometrija za izračun vztrajnosti pravokotne plošče glede na os, ki je vzporedna s pločevino in poteka skozi njeno središče. Vir: F. Zapata.

Rdeči element, označen z rdečo barvo, je pravokoten. Njegova površina je osnovna x višina, torej:

Zato je razlika v masi:

Kar zadeva razdaljo od površinskega elementa do osi vrtenja, je vedno z. Vse to nadomestimo v integralu inercijskega trenutka:

Zdaj se gostota površinske mase σ nadomesti z:

In vsekakor je videti takole:

Upoštevajte, da je kot tanka prečka.

Inercija kvadratnega lista glede na os, ki poteka skozi njegovo sredino

Za kvadrat s stranico L v prejšnjem izrazu, ki velja za pravokotnik, preprosto nadomestite vrednost b za vrednost L:

Teoremi trenutka vztrajnosti

Za poenostavitev izračuna inercijskega trenutka glede na druge osi obstajata dva posebej uporabna izrekanja, ki bi jih sicer zaradi pomanjkanja simetrije težko našli. Te teoreme so:

Steinerjev izrek

Imenujemo ga tudi izrek o vzporednih oseh in navaja vztrajnostni moment glede na os z drugo, ki poteka skozi središče mase predmeta, dokler so osi vzporedne. Za njegovo uporabo je potrebno poznati razdaljo D med obema osma in seveda maso M predmeta.

Naj _bo z z vztrajnostni moment predmeta, podaljšanega glede na os z, I _CM vztrajnostnega osi glede na os, ki gre skozi središče mase (CM) omenjenega predmeta, potem smo prepričani, da:

Ali v zapisu naslednje slike: I _{z '} = I _z + Md ²

Slika 8. Steinerjev izrek ali vzporedne osi. Vir: Wikimedia Commons. Jack Glej

Izrek pravokotne osi

Ta izrek je uporabljen na ravninskih površinah in gre takole: vztrajnostni moment ravninskega predmeta okoli osi, ki je pravokoten nanjo, je vsota inercijskih trenutkov okoli dveh osi, ki sta pravokotni na prvo os:

Slika 9. Teorem o pravokotni osi. Vir: F. Zapata.

Če ima predmet takšno simetrijo, da sta I _x in I _y enaka, je res, da:

Vaja rešena

Poiščite vztrajnostni moment palice glede na os, ki poteka skozi enega od njenih koncev, kot je prikazano na sliki 1 (spodaj in na desni) in na sliki 10.

Slika 10. Inercijski moment homogenega droga okoli osi, ki poteka skozi en konec. Vir: F. Zapata.

Rešitev:

Že imamo vztrajnostni moment palice okoli osi, ki poteka skozi njeno geometrijsko središče. Ker je palica homogena, je njeno središče mase na tej točki, tako da bo to naš I _CM, da uporabimo Steinerjev izrek.

Če je dolžina palice L, je os z na razdalji D = L / 2, torej:

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženirstvo in znanosti. Zvezek 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 190-200.
3. Teorem vzporedne osi. Pridobljeno: hiperfizika.fi-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizika za znanost in inženiring. 1. zvezek.
5. Univerza v Sevilli. Iercija krogelnih trdnih snovi. Pridobljeno: laplace.us.es.
6. Univerza v Sevilli. Zdravi trenutek sistema delcev. Pridobljeno: laplace.us.es.
7. Wikipedija. Izrek paralelne osi. Pridobljeno: en.wikipedia.org