IMPLICITNI DERIVATI: KAKO SE REŠUJEJO IN REŠUJEJO VAJE - MATEMATIKA - 2025

Na implicitno derivati so orodja, ki se uporabljajo v diferenciacijo tehniki uporablja za funkcije. Uporabljajo se, kadar z običajnimi metodami ni mogoče rešiti, da bi izpeljali odvisno spremenljivko. Ta odmik se izvede kot funkcija neodvisne spremenljivke.

Na primer, v izrazu 3xy ³ - 2y + xy ² = xy ni mogoče dobiti izraza, ki definira "y" kot funkcijo "x". Tako da lahko z izpeljavo diferencialnega izraza dy / dx dobimo.

Kako se rešijo implicitne izpeljanke?

Da bi rešili implicitno izpeljanko, začnemo z implicitnim izrazom. Na primer: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. To je bilo že pravilno razrešeno, vendar to ni nujen pogoj za pridobitev izpeljanke y glede na x. Nato je vsak element sestavljen ob upoštevanju pravila verige za mešane funkcije:

3xy ³ je sestavljen iz dveh spremenljivk, zato bo d (3xy ³ ) obravnavan kot izpeljanka izdelka funkcij.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Kjer je element y 'znan kot "y prime" in predstavlja dy / dx

-2y Izvedena je po zakonu KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² predvideva še eno razliko, sestavljeno iz izdelka funkcij

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-ksi obdelamo homologno

d (-xy) = -y - x y '

Nadomestni so v enakosti, vedoč, da je izvod nič enaka nič.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementi z izrazom y 'so združeni na eni strani enakosti

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Skupni faktor y 'se pridobiva na desni strani enakosti

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Končno je zbrisan izraz, ki pomnoži y '. Tako dobimo izraz, ki ustreza implicitni izpeljanki y glede na x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Pravilo verige

V implicitni izpeljavi se vedno upošteva pravilo verige. Vsi različni izrazi bodo podani kot funkcija neodvisne spremenljivke X. Torej mora vsaka spremenljivka θ, razen X, po izpeljani besedi vključiti izraz dθ / dx.

Ta izraz se bo pojavil samo v prvi stopnji ali s koeficientom, ki je enak 1. Ta kakovost je popolnoma jasna pri tradicionalnih metodah faktoringa. Tako je mogoče dobiti izraz, ki definira diferencial dθ / dx.

Pravilo verige prikazuje progresivno naravo procesa diferenciacije ali izpeljave. Kjer je za vsako sestavljeno funkcijo f, imamo diferencialni izraz f

Operativni vrstni red

V vsaki uporabljeni formuli ali zakonu izpeljave je treba upoštevati vrstni red spremenljivk. Merila, povezana z neodvisno spremenljivko, se spoštujejo, ne da bi spremenili njeno povezanost z odvisno spremenljivko.

Razmerje odvisne spremenljivke v času izpeljave je neposredno; Z izjemo, da bo to veljalo za drugo funkcijo, zato je uporabljeno merilo verižnega pravila za mešane funkcije.

To je mogoče razviti v izrazih z več kot dvema spremenljivkama. Po istih načelih bodo označene vse razlike, ki se nanašajo na odvisne spremenljivke.

Grafično je obravnavano isto merilo, ki določa izpeljanko. Medtem ko je izpeljanka nagib dotične črte na krivuljo v ravnini, preostali diferenciali, ki pripadajo odvisnim spremenljivkam (dy / dx, dz / dx), predstavljajo ravnine, ki se dotikajo vektorskih teles, opisanih z več spremenljivimi funkcijami.

Implicitno

Funkcija naj bi se implicitno definiran če se izraz y = f (x), lahko predstavimo kot Večfunkcijska spremenljivke f (x, y) = 0, dokler je F definiran v R ² ravnino .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy lahko zapišemo v obliki 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Glede na to, da funkcija y = f (x) ni jasna.

Zgodovina

Različni račun so začeli poimenovati različni matematični raziskovalci približno v sedemnajstem stoletju. Prvič je bilo to omenjeno s prispevki Newtona in Leibniz. Oba sta različni račun obravnavala z različnih vidikov, vendar sta se v svojih rezultatih zbližala.

Medtem ko se je Newton osredotočal na diferenciacijo kot hitrost ali hitrost sprememb, je bil Leibnizov pristop bolj geometrijski. Lahko bi rekli, da je Newton napadel domneve, ki jih je zapustil Apollonius iz Pergeja in Leibniz geometrijske ideje Fermata.

Implicitna izpeljava se pojavi takoj, ko upoštevamo diferencialne in integralne enačbe. Ti so Leibnizov geometrijski koncept razširili na R ³ in celo na večdimenzionalne prostore.

Prijave

Implicitni derivati ​​se uporabljajo v različnih situacijah. Pogosti so pri težavah z menjalnimi tečaji med sorodnimi spremenljivkami, pri čemer se spremenljivke glede na smisel študije štejejo za odvisne ali neodvisne.

Imajo tudi zanimive geometrijske aplikacije, na primer pri odsevu ali težavah s sencami, na slikah, katerih obliko je mogoče matematično modelirati.

Pogosto se uporabljajo na področju ekonomije in inženiringa, pa tudi pri različnih raziskavah naravnih pojavov in poskusnih stavb.

Rešene vaje

Vaja 1

Določite implicitni izraz, ki definira dy / dx

Vsak element izraza je diferenciran

Vzpostavitev pravila verige v vsakem pristojnem primeru

Razvrstitev na eni strani enakosti elementov, ki imajo dy / dx

Upošteva se s skupnim dejavnikom

Reši se z iskanjem iskanega izraza

Vaja 2

Določite implicitni izraz, ki definira dy / dx

Izražanje izpeljank, ki jih je treba izvesti

Izvedba implicitno po verižnem pravilu

Faktoring skupnih elementov

Razvrstitev izraza dy / dx na eni strani enakosti

Skupni dejavnik diferencialnega elementa

Izoliramo in pridobimo želeni izraz

Reference

1. Izračun ene same spremenljivke. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. Teorem o implicitnih funkcijah: zgodovina, teorija in aplikacije. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. november. 2012
3. Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. dec. 2010
4. Dinamika sistema: modeliranje, simulacija in nadzor mehatronskih sistemov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
5. Izračun: Matematika in modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januarja 1999