ORTONORMALNA OSNOVA: LASTNOSTI, PRIMERI IN VAJE - FIZIČNO - 2026

Ortonormirana podlaga tvorjena z vektorji pravokotni druga na drugo in katerih modul je tudi 1 (vektorji enota). Spomnimo se, da je baza B v vektorskem prostoru V definirana kot niz linearno neodvisnih vektorjev, ki lahko ustvarijo omenjeni prostor.

Vektorski prostor je abstraktna matematična enota, katere elementi vključujejo vektorje, ki so običajno povezani s fizikalnimi veličinami, kot so hitrost, sila in premik, ali tudi z matricami, polinomi in funkcijami.

Slika 1. Ortonormalna osnova v ravnini. Vir: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektorji imajo tri značilne elemente: velikost ali modul, smer in smisel. Ortonormalna osnova je še posebej koristna za predstavljanje in delovanje z njimi, saj lahko vsak vektor, ki pripada določenemu vektorskemu prostoru V, zapišemo kot linearno kombinacijo vektorjev, ki tvorijo ortonormalno osnovo.

Na ta način se analitično izvajajo operacije med vektorji, kot so seštevanje, odštevanje in različnimi vrstami izdelkov, opredeljenih v omenjenem prostoru.

Med najbolj razširjenimi osnovami v fiziki je osnova, ki jo tvorijo enotni vektorji i , j in k, ki predstavljajo tri značilne smeri tridimenzionalnega prostora: višina, širina in globina. Ti vektorji so znani tudi kot enotni kanonski vektorji.

Če namesto tega vektorji delujejo v ravnini, bi bila dovolj dva od teh treh komponent, medtem ko je za enodimenzionalne vektorje potreben le en.

Lastnosti podstavkov

1- A baza B je najmanjši možni niz vektorjev, ki ustvarjajo vektorski prostor V.

2- Elementi B so linearno neodvisni.

3- Vsaka baza B vektorskega prostora V omogoča izražanje vseh vektorjev V kot linearno kombinacijo le-tega in ta oblika je edinstvena za vsak vektor. Zaradi tega je B znan tudi kot sistem generiranja.

4- Isti vektorski prostor V ima lahko različne baze.

Primeri podlag

Tu je nekaj primerov ortonormalnih podlag in baz na splošno:

Kanonična osnova v ℜ

Imenujemo ga tudi naravna baza ali standardna osnova ℜ ⁿ , kjer je ℜ ⁿ n-dimenzionalni prostor, na primer tridimenzionalni prostor je ℜ ³ . Vrednost n imenujemo dimenzija vektorskega prostora in je označena kot dim (V).

Vsi vektorji, ki pripadajo ℜ ^n, so predstavljeni z urejenimi n-oglasi. Za prostor ℜ ⁿ je kanonična osnova:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

V tem primeru smo uporabili notacijo z oklepaji ali "oklepaji" in krepko za vektorje enot e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Kanonična osnova v ℜ

Znani vektorji i , j in k priznavajo to isto predstavitev in vsi trije so dovolj, da predstavljajo vektorje v ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0; k = <0,0,1>

Pomeni, da se osnova lahko izrazi tako:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Da bi preverili, ali so linearno neodvisni, je določevalec, ki se tvori z njimi, enak nič in tudi enak 1:

Prav tako mora biti mogoče zapisati kateri koli vektor, ki pripada ℜ ^3, kot linearno kombinacijo le-teh. Na primer, sila, katere pravokotne komponente so F _x = 4 N, F _y = -7 N in F _z = 0 N, bi bila zapisana v vektorski obliki, kot je ta:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Zato i , j in k tvorijo sistem generatorja ℜ ³ .

Druge ortonormalne podlage v ℜ

Standardna osnova, opisana v prejšnjem razdelku, ni edina ortonormalna osnova v ℜ ³ . Tu imamo na primer podlage:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Lahko se pokaže, da so te podlage ortonormalne, zato si zapomnimo pogoje, ki jih je treba izpolniti:

-Vektorji, ki tvorijo bazo, morajo biti pravokotni drug drugemu.

Vsak od njih mora biti enoten.

To lahko preverimo tako, da vemo, da mora biti določevalec, ki ga tvorijo, enak nič in enak 1.

Osnova B ₁ je ravno cilindrična koordinata ρ, φ in z, še en način izražanja vektorjev v prostoru.

Slika 2. Cilindrične koordinate. Vir: Wikimedia Commons. Math buff.

Rešene vaje

- Vaja 1

Pokažite, da je osnova B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} je ortonormalno.

Rešitev

Da pokažemo, da so vektorji pravokotni drug na drugega, bomo uporabili skalarni izdelek, imenovan tudi notranji ali pikčasti izdelek dveh vektorjev.

Naj bosta dva vektorja u in v njuna pika je določena z:

u • v = uv cosθ

Za razlikovanje vektorjev njihovih modulov bomo uporabili krepke za prvo in običajne črke za drugo. θ je kot med u in v, zato če sta pravokotni, to pomeni, da je θ = 90 ° in skalarni izdelek enak nič.

Če pa so vektorji podani glede na njihove sestavne dele: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, skalarni produkt obeh, ki je komutativen, se izračuna na ta način:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Na ta način so skalarni izdelki med posameznimi pari vektorjev:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Za drugi pogoj se izračuna modul vsakega vektorja, ki ga dobimo z:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Tako so moduli vsakega vektorja:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Zato so vsi trije vektorji enot. Končno je določitev, ki jo oblikujejo, enaka nič in je enaka 1:

- Vaja 2

Zgoraj napišite koordinate vektorja w = <2, 3,1>.

Rešitev

Za to se uporabi naslednji izrek:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

To pomeni, da lahko vektor zapišemo v bazo B s pomočjo koeficientov < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, za katere moramo izračunati označene skalarne izdelke:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

S pridobljenimi skalarnimi produkti je izdelana matrica, imenovana koordinatna matrica w.

Zato so koordinate vektorja w v bazi B izražene z:

_B =

Koordinatna matrica ni vektor, saj vektor ni enak njenim koordinatam. To so le množice števil, ki služijo za izražanje vektorja v dani bazi, in ne vektor kot tak. Odvisne so tudi od izbrane baze.

Na koncu bi po teoremu vektor w izrazili na naslednji način :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Z: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, to je vektorji baze B.

Reference

1. Larson, R. Temelji linearne algebre. 6. Izdaja. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Izračun. 7. Izdaja. Zvezek 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linearna algebra. Enota 10. Ortonormalne podlage. Pridobljeno: ocw.uc3m.es.
4. Univerza v Sevilli. Cilindrične koordinate. Vektorska osnova. Pridobljeno: laplace.us.es.
5. Wikipedija. Ortonormalna osnova. Pridobljeno: es.wikipedia.org.