- Primer
- Načini za dodelitev verjetnosti
- Laplasovo pravilo
- Relativna frekvenca
- Subjektivna metoda
- Vaja rešena
- Rešitev za
- Rešitev b
- Rešitev c
- Rešitev d
- Reference
V aksiomi verjetnosti so matematični predlogi, ki se nanašajo na teorijo verjetnosti, ki ne pridejo v poštev dokaz. Aksiome je leta 1933 ustanovil ruski matematik Andrei Kolmogorov (1903-1987) v svojih temeljih Teorije verjetnosti in postavil temelje matematičnemu študiju verjetnosti.
Pri izvedbi določenega naključnega eksperimenta ξ je vzorčni prostor E množica vseh možnih rezultatov eksperimenta, imenovanih tudi dogodki. Vsak dogodek je označen kot A, P (A) pa je verjetnost njegovega nastanka. Nato je Kolmogorov ugotovil, da:
Slika 1. Aksiomi verjetnosti nam omogočajo, da izračunamo verjetnost zadetka iger na srečo, kot je ruleta. Vir: Pixabay.
- Aksiom 1 (ne negativnost) : verjetnost, da se kateri koli dogodek A zgodi, je vedno pozitiven ali enak nič, P (A) ≥0. Kadar je verjetnost dogodka 0, se imenuje nemogoč dogodek.
- Aksiom 2 (gotovost) : vsakič, ko nek dogodek pripada E, je njegova verjetnost pojava 1, kar lahko izrazimo kot P (E) = 1. To poznamo kot določen dogodek, saj pri izvedbi eksperimenta zagotovo obstaja rezultat.
- Aksiom 3 (dodatek) : v primeru dveh ali več nezdružljivih dogodkov dva po dva, ki se imenujejo A 1 , A 2 , A 3 …, verjetnost, da se bo zgodil dogodek A 1 plus A 2 plus A 3 in tako naprej zaporedoma je vsota verjetnosti vsakega dogodka posebej.
To se izrazi kot: P (A 1 AU 2 AU 3 U…) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) +…
Slika 2. Izjemen ruski matematik Andrei Kolmogorov (1903-1987), ki je postavil temelje aksiomatični verjetnosti. Vir: Wikimedia Commons.
Primer
Aksiomi verjetnosti se pogosto uporabljajo v številnih aplikacijah. Na primer:
V zrak se vrže pritisk palice ali tack in ko pade na tla, obstaja možnost pristajanja s točko navzgor (U) ali s točko navzdol (D) (drugih možnosti ne bomo upoštevali). Vzorčni prostor tega eksperimenta je sestavljen iz teh dogodkov, nato pa je E = {U, D}.
Slika 3. V poskusu metanja žoge sta dva dogodka različnih verjetnosti: pristanek s točko navzgor ali proti tlom. Vir: Pixabay.
Z uporabo aksiomov imamo:
Če je enako verjetno, da pristane navzgor ali navzdol, je P (U) = P (D) = ½ (Aksiom 1). Vendar lahko zaradi konstrukcije in oblikovanja udarcev na eno ali drugo stopnjo bolj pade. Na primer, lahko je P (U) = ¾, medtem ko je P (D) = ¼ (Aksiom 1).
Upoštevajte, da v obeh primerih vsota verjetnosti daje 1. Vendar pa aksiomi ne kažejo, kako dodeliti verjetnosti, vsaj ne v celoti. Vendar navajajo, da gre za številke med 0 in 1 in da je v tem primeru vsota vseh enaka.
Načini za dodelitev verjetnosti
Aksiomi verjetnosti niso metoda dodeljevanja vrednosti verjetnosti. Za to so tri možnosti, ki so združljive z aksiomi:
Laplasovo pravilo
Vsakemu dogodku je dodeljena enaka verjetnost dogodka, potem je verjetnost pojava definirana kot:
Na primer, kakšna je verjetnost, da iz kroga francoskih kart potegnete asa? Na krovu je 52 kart, od katerih ima 13 oblek in 4 obleke. Vsaka obleka ima 1 asa, torej skupno 4 asi:
P (kot) = 4/52 = 1/13
Laplaceovo pravilo je omejeno na končne vzorčne prostore, kjer je vsak dogodek enako verjeten.
Relativna frekvenca
Tu mora biti poskus ponovljiv, saj metoda temelji na izvedbi velikega števila ponovitev.
Naredimo i ponovitve poskusa ξ, od katerih ugotovimo, da je n število, ko se določen dogodek A zgodi, potem je verjetnost, da se ta dogodek zgodi, ta:
P (A) = lim i → ∞ (n / i)
Kjer je n / i relativna pogostost dogodka.
Tako definiranje P (A) ustreza Kolmogorovim aksiomom, vendar ima pomanjkljivost, da je treba opraviti številne teste, da je verjetnost ustrezna.
Subjektivna metoda
Oseba ali skupina ljudi se lahko strinja, da bo določila verjetnost za dogodek, s svojo lastno presojo. Ta metoda ima slabost, ker lahko različni ljudje isti dogodek dodelijo različne verjetnosti.
Vaja rešena
V poskusu sočasnega metanja 3 poštenih kovancev pridobite verjetnosti opisanih dogodkov:
a) 2 glavi in rep.
b) 1 glava in dva repa
c) 3 križi.
d) Vsaj 1 obraz.
Rešitev za
Glave so označene s C, repi pa z X. Vendar obstaja več načinov, da dobite dve glavi in rep. Na primer, prva dva kovanca lahko pristaneta na glavah, tretji pa lahko odlagata repo. Ali prvi lahko padejo glave, drugi rep in tretji glave. In končno so prvi lahko repi in preostale glave.
Za odgovor na vprašanja je potrebno poznati vse možnosti, ki so opisane v orodju, imenovanem drevesni diagram ali drevo verjetnosti:
Slika 4. Drevesni diagram za istočasno metanje treh poštenih kovancev. Vir: F. Zapata.
Verjetnost, da bo kateri koli kovanec glave, je ½, enako velja za repove, saj je kovanec iskren. V desnem stolpcu so navedene vse možnosti, ki jih ima kretnica, torej prostor za vzorce.
Iz vzorčnega prostora so izbrane kombinacije, ki se odzovejo na zahtevani dogodek, saj vrstni red, v katerem se pojavijo obrazi, ni pomemben. Na voljo so trije ugodni dogodki: CCX, CXC in XCC. Verjetnost vsakega dogodka je:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
Enako se dogaja za dogodke CXC in XCC, vsak ima 1/8 verjetnosti, da se bo zgodilo. Zato je verjetnost, da dobimo točno 2 glavi, vsota verjetnosti vseh ugodnih dogodkov:
P (dvostransko) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Rešitev b
Iskanje verjetnosti, da se bosta zgodila točno dva križa, je problem, podoben prejšnjemu, obstajajo tudi trije ugodni dogodki iz vzorčnega prostora: CXX, XCX in XXC. Tako:
P (2 križa) = 3/8 = 0,375
Rešitev c
Intuitivno vemo, da je verjetnost, da bomo dobili 3 repov (ali 3 glave), manjša. V tem primeru je iskani dogodek XXX na koncu desnega stolpca, katerega verjetnost je:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Rešitev d
Prosimo, da pridobite vsaj 1 obraz, kar pomeni, da lahko pridejo 3 obrazi, 2 obraza ali 1 obraz. Edini nezdružljivi dogodek s tem je tisti, v katerem izidejo 3 repi, katerih verjetnost je 0,125. Zato je iskana verjetnost:
P (vsaj 1 glava) = 1 - 0,125 = 0,875.
Reference
- Canavos, G. 1988. Verjetnost in statistika: Aplikacije in metode. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Verjetnost in statistika za inženirstvo in znanost. 8. Izdaja. Zveži.
- Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Verjetnost. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. Teorija verjetnosti. Uredništvo Limusa.
- Walpole, R. 2007. Verjetnost in statistika za inženiring in znanosti. Pearson.