SERIJA MOČI: PRIMERI IN VAJE - MATEMATIKA - 2025

Serija moči je sestavljena iz seštevanja izrazov v obliki moči spremenljivke x ali na splošno xc, kjer je c konstantno realno število. V seštevnem zapisu se izrazi vrsta pristojnosti na naslednji način:

Kjer so koeficienti a _o , a, ₁ , ₂ … realna števila in se niz začne pri n = 0.

Slika 1. Opredelitev niza moči. Vir: F. Zapata.

Ta serija je osredotočena na konstantno vrednost c, vendar lahko izberete, da je c enak 0; v tem primeru serija moči poenostavi:

Serije se začnejo z _ali (xc) ⁰ oziroma a _ali x ⁰ . Vemo pa, da:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Zato je _o (xc) ⁰ = a _ali x ⁰ = a _o (neodvisen izraz)

Dobra stvar pri serijah moči je, da se funkcije lahko izrazijo z njimi in to ima številne prednosti, še posebej, če želite delati z zapleteno funkcijo.

V tem primeru namesto neposredne funkcije uporabite razširitev niza moči, kar je lažje izpeljati, integrirati ali delovati številčno.

Seveda je vse pogojeno s konvergenco serije. Serija konvergira, ko dodate določeno veliko število izrazov, daje fiksno vrednost. In če dodamo še več izrazov, še naprej pridobivamo to vrednost.

Deluje kot Power Series

Kot primer funkcije, izražene kot niz moči, vzemimo f (x) = e ^x .

To funkcijo lahko izrazimo z nizom pooblastil, kot sledi:

in ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5 NOČI!) + …

Kje! = n (n-1). (n-2). (n-3)… in traja 0! = 1.

S pomočjo kalkulatorja bomo preverili, ali serija res sovpada s funkcijo, ki je izrecno dana. Na primer začnimo z izdelavo x = 0.

Vemo, da je e ⁰ = 1. Poglejmo, kaj počne serija:

in ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5 NOČI!) + … = 1

In zdaj poskusimo x = 1. Kalkulator vrne, da je e ¹ = 2.71828, nato pa primerjamo z nizom:

in ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5 NOČI!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

S samo petimi izrazi imamo že natančno ujemanje v e ≈ 2,71. Naša serija ima še malo več, a ker se doda več izrazov, se serija zagotovo zbliža s točno vrednostjo e. Predstavitev je točna, ko je n → ∞.

Če se predhodna analiza ponovi za n = 2, dobimo zelo podobne rezultate.

Na ta način smo prepričani, da lahko eksponentno funkcijo f (x) = e ^x predstavimo s tem nizom moči:

Slika 2. V tej animaciji lahko vidimo, kako se serija moči približuje eksponentni funkciji, če upoštevamo več izrazov. Vir: Wikimedia Commons.

Geometrijski niz moči

Funkcija f (x) = e ^x ni edina funkcija, ki podpira predstavitev niza moči. Na primer, funkcija f (x) = 1/1 - x izgleda precej kot dobro znana konvergentna geometrijska serija:

Dovolj je, da naredimo a = 1 in r = x, da dobimo niz, primeren za to funkcijo, ki je osredotočen na c = 0:

Vendar je znano, da je ta niz konvergenčen za │r│ <1, zato je reprezentacija veljavna le v intervalu (-1,1), čeprav funkcija velja za vse x, razen x = 1.

Ko želite to funkcijo definirati v drugem območju, se preprosto osredotočite na primerno vrednost in ste končani.

Kako najti serijsko širitev moči funkcije

Vsako funkcijo je mogoče razviti v vrsti moči, osredotočeni na c, če ima izpeljanke vseh vrst pri x = c. V postopku je uporabljen naslednji izrek, imenovan Taylorjev izrek:

Naj bo f (x) funkcija z izpeljanimi zaporedji n, označenimi kot f ⁽ⁿ⁾ , ki omogoča serijsko širitev moči na intervalu I. Njegov serijski razvoj Taylorja je:

Torej:

Kjer je R _n , ki je n. Izraz v nizu, se imenuje preostanek:

Kadar je c = 0, se niz imenuje serija Maclaurin.

Ta serija, dana tukaj, je enaka seriji, ki je bila dana na začetku, šele zdaj imamo način, da izrecno najdemo koeficiente vsakega pojma, ki jih poda:

Vendar moramo zagotoviti, da se serija približa funkciji, ki jo je treba predstavljati. Zgodi se, da se vsaka Taylorjeva serija nujno ne približa f (x), ki je bila upoštevana pri izračunu koeficientov pri _n .

To se zgodi, ker morda izpeljanke funkcije, ovrednotene na x = c, sovpadajo z isto vrednostjo izvodov druge, tudi pri x = c. V tem primeru bi bili koeficienti enaki, razvoj pa bi bil dvoumen, saj ni gotovo, kateri funkciji ustreza.

Na srečo obstaja način, da veste:

Konvergenčni kriterij

Da bi se izognili dvoumnosti, če je R _n → 0 kot n → ∞ za vse x v intervalu I, se serija zbliža v f (x).

Vaja

- Vaja rešena 1

Poiščite geometrijski niz moči za funkcijo f (x) = 1/2 - x s središčem pri c = 0.

Rešitev

Dana funkcija mora biti izražena tako, da čim bolj sovpada z 1 / 1- x, čigar niz je znan. Torej, ponovno napišimo števec in imenovalec, ne da bi spremenili izvirni izraz:

1/2 - x = (1/2) /

Ker je 1/2 konstanta, izhaja iz seštevanja in je zapisana v obliki nove spremenljivke x / 2:

Upoštevajte, da x = 2 ne spada v področje funkcije in po kriteriju konvergence, podanem v razdelku Geometric Power Series, je razširitev veljavna za Powerx / 2│ <1 ali enako -2 <x <2.

- Vaja rešena 2

Poiščite prvih 5 izrazov razširitve funkcije f (x) = sin x v Maclaurinovi seriji.

Rešitev

Korak 1

Najprej so izvedeni finančni instrumenti:

-Izvod iz reda 0: gre za isto funkcijo f (x) = sin x

-Prvi izvod: (sin x) ´ = cos x

-Sekunda izpeljanka: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Tretji izvod: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Četrtni izvod: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

2. korak

Potem se vsak derivat oceni na x = c, kot je Maclaurinova ekspanzija, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

3. korak

Izdelani so koeficienti a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

4. korak

Na koncu je serija sestavljena po:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0. .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Ali bralec potrebuje več izrazov? Koliko več, serija je bližje funkciji.

Upoštevajte, da je v koeficientih vzorec, naslednji ne-nič izraz je ₅ in vsi, ki imajo neparni indeks, se razlikujejo tudi od 0, izmenično znake, tako da:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Kot vaja preverjamo, ali se zbližuje, za konvergenco serij lahko uporabimo količinsko merilo.

Reference

1. Fundacija CK-12. Serija moči: zastopanje funkcij in operacij. Pridobljeno: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integralni račun. Nacionalna univerza Litoral.
3. Larson, R. 2010. Izračun spremenljivke. 9. Izdaja. McGraw Hill.
4. Brezplačna matematika. Serija moči. Pridobljeno: math.liibretexts.org.
5. Wikipedija. Serija moči. Pridobljeno: es.wikipedia.org.