INVERZNA MATRIKA: IZRAČUN IN REŠENA VAJA - MATEMATIKA - 2025

Inverzna matrika dane matrike je matrika, ki se pomnoži s izvirniku daje identiteto matriko. Inverzna matrica je uporabna za reševanje sistemov linearnih enačb, zato je pomembno vedeti, kako jo izračunati.

Matrice so zelo uporabne v fiziki, tehniki in matematiki, saj so kompaktno orodje za reševanje kompleksnih problemov. Uporabnost matric je povečana, kadar so obrnjene, pozna pa se tudi njihova inverznost.

Slika 1. Prikazana je splošna matrica 2 × 2 in njena inverzna matrica. (Pripravil Ricardo Pérez)

Na področjih grafične obdelave, velikih podatkov, rudarjenja podatkov, strojnega učenja in drugih se uporabljajo učinkoviti in hitri algoritmi za ocenjevanje inverzne matrice matric nxn z zelo velikimi n, v vrstnem redu tisoč ali milijonov.

Za ponazoritev uporabe inverzne matrice pri ravnanju s sistemom linearnih enačb bomo začeli z najpreprostejšim primerom vseh: 1 × 1 matric.

Najpreprostejši primer: šteje se linearna enačba posamezne spremenljivke: 2 x = 10.

Ideja je najti vrednost x, vendar bo to narejena "matrica".

Matrica M = (2), ki pomnoži vektor (x), je matrica 1 × 1, ki povzroči vektor (10):

M (x) = (10)

Inverza matrice M je označena z M ^-1 .

Splošni način pisanja tega "linearnega sistema" je:

MX = B, kjer je X vektor (x) in B je vektor (10).

Po definiciji je inverzna matrika tista, ki se pomnoži z izvirno matrico, rezultat matrike identitete I:

M ^-1 M = I

V obravnavanem primeru je matrika M ^-1 matrika (½), torej M ^-1 = (½), saj je M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Da bi našli neznani vektor X = (x), v predlagani enačbi oba člana pomnožimo z inverzno matrico:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Dosežena je bila enakost dveh vektorjev, ki sta enaka le, če sta enaka njuna elementa, to je x = 5.

Izračun inverzne matrice

Pri izračunu inverzne matrice je treba najti univerzalno metodo za rešitev linearnih sistemov, kot je naslednji sistem 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Po korakih primera 1 × 1, ki smo ga preučili v prejšnjem razdelku, zapišemo sistem enačb v matrični obliki:

Slika 2. Linearni sistem v matrični obliki.

Upoštevajte, da je ta sistem napisan v kompaktnih vektorskih zapisih, kot sledi:

MX = B

kje

Naslednji korak je iskanje obratnega dela M.

1. metoda: Uporaba Gaussove izločitve

Uporabljena bo Gaussova metoda izločanja. Zajema elementarne operacije v vrsticah matrike:

- Pomnožite vrstico z ničelno številko.

- Dodajte ali odštejte drugo vrstico iz vrstice ali večkratnik druge vrstice.

- Zamenjajte vrstice.

Cilj je s temi operacijami pretvoriti izvirno matrico v matrico identitete.

Ko je to storjeno, se v matrici M na identični matriki izvajajo popolnoma enake operacije. Ko se po več operacijah na vrsticah M preoblikuje v matrico enote, potem tista, ki je bila prvotno enota, postane inverzna matrika M, torej M ^-1 .

1- Postopek začnemo s pisanjem matrice M in zraven nje matrike enote:

2- Dve vrstici dodamo in rezultat damo v drugo vrstico, na ta način dobimo ničlo v prvem elementu druge vrstice:

3- Pomnožimo drugo vrstico z -1, da dobimo 0 in 1 v drugi vrstici:

4- Prva vrstica se pomnoži s ½:

5- Dodata se drugo in prvo in rezultat se postavi v prvo vrstico:

6- Zdaj, da zaključimo postopek, se prva vrstica pomnoži z 2, da dobimo matriko identitete v prvi vrstici, inverzno matriko izvirne matrice M pa v drugi:

Se pravi:

Sistemska rešitev

Ko dobimo inverzno matrico, sistem enačb rešimo tako, da uporabimo obratno matrico na obeh članih kompaktne vektorske enačbe:

M ^-1 m X = M ^-1 B

X = M ^- 1B

Kar izrecno izgleda tako:

Nato izvedemo množenje matrice, da dobimo vektor X:

2. način: uporaba priložene matrice

V tem drugem načinu je inverzna matrika izračunan iz adjungirana matrice prvotne matriko A .

Predpostavimo matrico A, ki jo poda:

če _{j i} je element vrstice i in stolpca j matrike A .

Pridružitev matrice A se bo imenovala Adj (A) in njeni elementi so:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

če j Ai je komplementarna nižji matrika pridobljena z odstranitvijo vrstice i in stolpca j prvotne matriko A . Vrstice ¦ ¦ označujejo, da je izračunana determinanta, to je ¦Ai, j¦ , ki določa determinanto manjše komplementarne matrike.

Formula obratne matrice

Formula za iskanje inverzne matrice, ki izhaja iz sosednje matrice izvirne matrice, je naslednja:

Je, inverzna matrika A , A ^-1 , je transponiranko s adjoint od A deljeno s determinanta A .

Prenos A ^T matrice A dobimo z izmenjavo vrstic za stolpce, to pomeni, da prva vrstica postane prvi stolpec in druga vrstica postane drugi stolpec in tako naprej, dokler n ni vrstic prvotne matrice.

Vaja rešena

Naj bo matrica A naslednja:

Vsak element pridružene matrice A se izračuna: Adj (A)

Posledica tega je, da je sosednja matrica A, Adj (A) naslednja:

Nato se izračuna determinant matrice A, det (A):

Končno dobimo inverzno matrico A:

Reference

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanti in matrice. Pass Publikacija.
2. Awol Assen (2013) Študija o izračunavanju determinante velikosti 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Uvod v linearno algebro. Uredništvo ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
5. Jenny Olive (1998) Matematika: Vodnik za preživetje študentov. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) Matematika 30 sekund: 50 najbolj razširjenih teorij matematike. Ivy Press Limited.
7. Matrica. Akademsko založništvo Lap Lambert