ŠTIRIKOTNIK: ELEMENTI, LASTNOSTI, RAZVRSTITEV, PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Štirikotnik je poligon s štirih straneh in štirih tock. Njene nasprotne strani so tiste, ki nimajo skupnih tock, zaporedne strani pa so tiste, ki imajo skupno točko.

V štirikotniku sosednji koti delijo eno stran, nasprotni koti pa nimajo skupnih strani. Druga pomembna značilnost štirikotnika je, da je vsota njegovih štirih notranjih kotov dvakrat večja od ravnine kota, to je 360 ​​° ali 2π radianov.

Slika 1. Različni štirikotniki. Vir: F. Zapata.

Diagonale so segmenti, ki se združijo z vrhom in nasproti, v danem štirikotniku pa se lahko iz vsake tocke nariše ena sama diagonala. Skupno število diagonal v štirikotniku je dve.

Štirikotniki so figure, ki jih človeštvo pozna že od antičnih časov. O tem pričajo arheološki zapisi in tudi danes zgrajene konstrukcije.

Prav tako so štirinajstniki še naprej pomembno prisotni v vsakdanjem življenju vsakogar. Bralec lahko to obliko najde na zaslonu, na katerem ta trenutek bere besedilo, na oknih, vratih, avtomobilskih delih in nešteto drugih krajih.

Štirinostranska klasifikacija

Glede na vzporednost nasprotnih strani se štirinožniki razvrščajo na naslednji način:

1. Trapez, ko ni paralelizma in je štirikotnik izbočen.
2. Trapez, kadar obstaja paralelizem med enim parom nasprotnih strani.
3. Paralelogram, kadar sta njegovi nasprotni strani vzporedni dve po dve.

Slika 2. Razvrstitev in podklasifikacija štirikotnikov. Vir: Wikimedia Commons.

Vrste paralelograma

Vzporedno s tem lahko paralelograme razvrstimo glede na njihove kote in njihove strani:

1. Pravokotnik je paralelogram, ki ima štiri notranje kote enake mere. Notranji koti pravokotnika tvorijo pravi kot (90 °).
2. Kvadrat, je pravokotnik s štirimi stranicami enake mere.
3. Rhombus je paralelogram s štirimi enakimi stranmi, vendar različnimi sosednjimi koti.
4. Romboid, paralelogram z različnimi sosednjimi koti.

Trapez

Trapez je izbočen štirikotnik z dvema vzporednima stranoma.

Slika 3. Podnožja, stranice, višina in mediana trapeza. Vir: Wikimedia Commons.

- V trapezu se vzporedne strani imenujejo osnove, ne vzporedne strani pa imenujejo stranske.

- Višina trapeza je razdalja med obema podlagoma, to je dolžina segmenta s konci na osnovah in pravokotno nanje. Ta segment imenujemo tudi višina trapeza.

- Mediana je segment, ki se združuje s srednjicami stranskih strani. Lahko je razvidno, da je mediana vzporedna s podlagami trapeza, njegova dolžina pa je enaka polizmu osnov.

- Območje trapeza je njegova višina, pomnožena s polovično vsoto podstavkov:

Vrste trapezov

-Prakokotni trapez : to je tista stran, pravokotna na podlage. Ta stran je tudi višina trapeza.

-Propeceidni trapez : tisti s stranicami enake dolžine. V isosceles trapezu so koti, ki mejijo na podlage, enaki.

-Scalene trapezij : tisti s svojimi stranicami različnih dolžin. Njeni nasprotni koti so lahko en akutni, drugi pa obdani, lahko pa se zgodi tudi, da sta oba obti ali oba akutna.

Slika 4. Vrste trapezija. Vir: F. Zapata.

Paralelogram

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta vzporedni dve po dve. V paralelogramu so nasprotni koti enaki, sosednji koti pa so dopolnilni, drugače pa sosednji koti znašajo do 180 °.

Če ima paralelogram pravi kot, potem bodo tudi vsi drugi koti preveč in dobljena številka se imenuje pravokotnik. Če pa ima pravokotnik tudi sosednje stranice enake dolžine, potem so vse njegove strani enake in dobljena številka je kvadrat.

Slika 5. Paralelogrami. Pravokotnik, kvadrat in romb so paralelogrami. Vir: F. Zapata.

Kadar ima paralelogram dve sosednji strani enake dolžine, bodo vse njegove strani enake dolžine in dobljena številka je romb.

Višina paralelograma je segment s konci na nasprotnih straneh in pravokotno na njih.

Območje paralelograma

Območje paralelograma je produkt osnove, ki je krajša od njegove višine, pri čemer je osnova stran, pravokotna na višino (slika 6).

Diagonale paralelograma

Kvadrat diagonale, ki se začne z vrhom, je enak vsoti kvadratov obeh strani, ki mejijo na omenjeno točko, in dvojnega produkta teh strani s kosinusom kota te točke:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Slika 6. Paralelogram. Nasprotni koti, višina, diagonale. Vir: F. Zapata.

Kvadrat diagonale, nasproti vrha paralelograma, je enak vsoti kvadratov obeh strani, ki mejijo na omenjeno točko in odštejeta dvojni produkt teh strani s kosinusom kota te vrhove:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Zakon paralelogramov

V katerem koli paralelogramu je vsota kvadratov njegovih stranic enaka vsoti kvadratov diagonale:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Pravokotnik je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta vzporedno dva po dva in ki ima tudi pravi kot. Z drugimi besedami, je pravokotnik vrsta paralelograma s pravim kotom. Ker gre za paralelogram, ima pravokotnik nasprotne stranice enake dolžine a = c in b = d.

Toda kot v vsakem paralelogramu so sosednji koti dopolnilni in nasprotni koti enaki, v pravokotniku, ker ima pravi kot, bo v drugih treh kotih nujno oblikoval prave kote. Z drugimi besedami, v pravokotniku vsi notranji koti merijo 90 ° ali π / 2 radiana.

Diagonale pravokotnika

V pravokotniku so diagonale enake dolžine, kot bo prikazano spodaj. Obrazložitev je naslednja; Pravokotnik je paralelogram z vsemi pravimi koti in zato podeduje vse lastnosti paralelograma, vključno s formulo, ki daje dolžino diagonal:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

z α = 90º

Ker je Cos (90 °) = 0, se zgodi, da:

f ² = g ² = a ² + d ²

To je f = g, zato sta dolžini f in g obeh diagonal pravokotnika enaki, njihova dolžina pa je dana:

Poleg tega, če v pravokotniku s sosednjima stranema a in b ena stran vzamemo za osnovo, bo druga stran višine in posledično bo površina pravokotnika:

Površina pravokotnika = os b.

Obod je vsota vseh strani pravokotnika, a ker sta nasprotji enaki, izhaja, da je za pravokotnik s stranicama a in b obod določen z naslednjo formulo:

Obseg pravokotnika = 2 (a + b)

Slika 7. Pravokotnik s stranicama a in b. Diagonali f in g sta enaki dolžini. Vir: F. Zapata.

Kvadrat

Kvadrat je pravokotnik s sosednjimi stranicami enake dolžine. Če ima kvadrat stran a, imata njegovi diagonali f in g enako dolžino, ki je f = g = (√2) a.

Površina kvadrata je njegova stranska kvadrata:

Površina kvadrata = a ²

Obod kvadrata je dvakrat stran:

Obod kvadrata = 4 a

Slika 8. Kvadrat s stranico a kaže območje, obod in dolžino diagonale. Vir: F. Zapata ..

Diamant

Rhombus je paralelogram, katerega sosednje stranice so enake dolžine, ker pa so v paralelogramu nasprotne strani enake, so vse strani romba enake dolžine.

Diagonale romba so različne dolžine, vendar se sekajo pod pravim kotom.

Slika 9. Rhombus strani a, ki označuje njegovo območje, obod in dolžino diagonale. Vir: F. Zapata.

Primeri

Primer 1

Pokažite, da v štirikotniku (ki ni prečkan) notranji koti segajo do 360 °.

Slika 10: Prikazano je, kako seštevek kotov štirikotnika sestavlja 360 °. Vir: F. Zapata.

Upoštevamo štirikotnik ABCD (glej sliko 10) in narišemo diagonalo BD. Oblikujeta se dva trikotnika ABD in BCD. Vsota notranjih kotov trikotnika ABD je:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

In vsota notranjih kotov trikotnika BCD je:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Če dodamo dve enačbi, dobimo:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Razvrščanje v skupine:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Z združevanjem in preimenovanjem se končno pokaže, da:

α + β + δ + γ = 360º

Primer 2

Pokažite, da je mediana trapeza vzporedna s svojimi osnovami, njegova dolžina pa je polobla osnov.

Slika 11. Mediana MN trapezija ABCD. Vir: F. Zapata.

Mediana trapeza je segment, ki se spaja s srednjicami njegovih strani, torej s paralelnimi stranmi. V trapezu ABCD, prikazanem na sliki 11, je mediana MN.

Ker je M srednja točka AD, N pa sredina točke BC, sta razmerja AM / AD in BN / BC enaka.

To pomeni, da je AM sorazmeren z BN v enakem razmerju kot AD z BC, zato so podani pogoji za uporabo Thalesove (vzajemne) teoreme, ki navaja naslednje:

"Če so proporcionalni segmenti določeni v treh ali več črtah, ki jih sekajo dve sekanci, potem so te vrstice vzporedne."

V našem primeru je sklenjeno, da so premice MN, AB in DC med seboj vzporedne, torej:

"Mediana trapeza je vzporedna z njegovimi osnovami."

Zdaj se bo uporabil Thalesov izrek:

"Nabor vzporednic, ki jih razreže dva ali več sekancev, določa sorazmerne segmente."

V našem primeru AD = 2 AM, AC = 2 AO, zato je trikotnik DAC podoben trikotniku MAO in posledično DC = 2 MO.

Podoben argument nam omogoča, da trdimo, da je CAB podoben CON, kjer je CA = 2 CO in CB = 2 CN. Takoj sledi, da je AB = 2 ON.

Skratka, AB = 2 VK in DC = 2 MO. Torej pri dodajanju imamo:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Končno je izbrisano MN:

MN = (AB + DC) / 2

In sklepamo, da mediana trapeza meri pol seštev podstavkov ali drugače: mediana meri vsoto baz, deljeno z dvema.

Primer 3

Pokažite, da se v rombu diagonale sekajo pod pravim kotom.

Slika 12. Rhombus in demonstracija, da se njegove diagonale sekajo pod pravim kotom. Vir: F. Zapata.

Plošča na sliki 12 prikazuje potrebno konstrukcijo. Najprej se vzpostavi paralelogram ABCD z AB = BC, torej rombom. Diagonali AC in DB določata osem kotov, prikazanih na sliki.

S pomočjo izrek (aip), ki pravi, da izmenični notranji koti med vzporednicami, ki jih sekajo s sekantom, določajo enake kote, lahko ugotovimo naslednje:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ in δ2 = β2. (*)

Ker so sosednje strani romba enake dolžine, so določeni štirje izosceli trikotniki:

DAB, BCD, CDA in ABC

Zdaj se prikliče izrek trikotnika (izosceles), ki pravi, da so koti, ki mejijo na osnovo, enake mere, iz česar je mogoče sklepati, da:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ in α ₁ = γ2 (**)

Če sta razmerja (*) in (**) združena, se doseže naslednja enakost kotov:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ na eni strani in β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 na drugi strani.

Če spomnimo na izrek o enakih trikotnikov, ki pravi, da sta dva trikotnika z enako stranico med dvema enakima kotoma, imamo:

AOD = AOB in posledično tudi koti ∡AOD = ∡AOB.

Potem je ∡AOD + ∡AOB = 180º, ker pa sta oba kota enake mere, imamo 2 ∡AOD = 180º, kar pomeni, da je ∡AOD = 90º.

To pomeni, da je geometrijsko prikazano, da se diagonale romba sekajo pod pravim kotom.

Vaje rešene

- Vaja 1

Pokažite, da se v desnem trapezu neravni koti dopolnjujejo.

Rešitev

Slika 13. Desni trapez. Vir: F. Zapata.

Trapez ABCD je zasnovan z bazama AB in DC vzporedno. Notranji kot vrha A je pravi (meri 90 °), zato imamo pravi trapez.

Kotoma α in δ sta notranja kota med dvema vzporednicama AB in DC, zato sta enaka, to je δ = α = 90º.

Po drugi strani se je pokazalo, da seštevek notranjih kotov štirikotnika sešteje do 360 °, torej:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Zgoraj navedeno vodi do:

β + δ = 180º

Potrjevanje tega, kar smo želeli pokazati, da sta kota β in δ dopolnilna.

- Vaja 2

Paralelogram ABCD ima AB = 2 cm in AD = 1 cm, poleg tega je kot BAD 30 °. Določite območje tega paralelograma in dolžino njegovih dveh diagonal.

Rešitev

Območje paralelograma je rezultat dolžine njegove osnove in njegove višine. V tem primeru se za osnovo vzame dolžina odseka b = AB = 2 cm, druga stran ima dolžino a = AD = 1 cm in višina h se izračuna na naslednji način:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Torej: površina = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Uredništvo Patria.
3. Freed, K. (2007). Odkrijte poligone. Benchmark izobraževalno podjetje.
4. Hendrik, V. (2013). Splošni poligoni. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika prvi semester Tacaná. IGER.
6. Jr. Geometrija (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren in Hornsby. (2006). Matematika: Obrazložitev in aplikacije (deseta izdaja). Pearsonova vzgoja.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Uredniški progreso.
9. Wikipedija. Štirikotniki. Pridobljeno: es.wikipedia.com