SREDNJA KOTNA HITROST: DEFINICIJA IN FORMULE, REŠENE VAJE - FIZIČNO - 2026

Srednja kotna hitrost vrtenja je opredeljena kot kot vrti na časovno enoto položaju vektor točke, ki opisuje krožno gibanje. Lopatice stropnega ventilatorja (kot je prikazano na sliki 1) sledijo krožnemu gibanju, njihova povprečna kotna hitrost vrtenja pa se izračuna tako, da se upošteva količnik med zasukanim kotom in časom, ko je ta kot prevožen.

Pravila, ki jim sledi rotacijsko gibanje, so nekoliko podobna tistim, ki jih poznamo pri premičnem gibanju. Prevožene razdalje je mogoče izmeriti tudi v metrih, vendar so kotne magnitude še posebej pomembne, ker močno olajšajo opis gibanja.

Slika 1. Lopatice ventilatorjev imajo kotno hitrost. Vir: Pixabay

Na splošno se grške črke uporabljajo za kotne količine, latinske črke pa za ustrezne linearne količine.

Opredelitev in formule

Na sliki 2 je prikazano gibanje točke na krožni poti c. Položaj P točke ustreza trenutku t in kotni položaj, ki ustreza temu trenutku, je ϕ.

Od trenutka t preteče časovno obdobje Δt. V tem obdobju je nov položaj točke P 'in kotni položaj se je povečal za kot Δϕ.

Slika 2. Krožno gibanje točke. Vir: self made

Srednja kotna hitrost ω je kot, prevožen na enoto časa, tako da bo količnik Δϕ / Δt predstavljal srednjo kotno hitrost med časoma t in t + Δt:

Ker je kot izmerjen v radianih in čas v sekundah, je enota za srednjo kotno hitrost rad / s. Če želimo izračunati kotno hitrost ravno v trenutku t, bomo morali izračunati razmerje Δϕ / Δt, ko je Δt ➡0.

Enakomerno vrtenje

Rotacijsko gibanje je enakomerno, če je kateri koli opazovani trenutek v istem časovnem obdobju enak prehojenemu kotu. Če je vrtenje enakomerno, potem kotna hitrost v vsakem trenutku sovpada s srednjo kotno hitrostjo.

V enakomernem rotacijskem gibanju se čas, v katerem je narejena ena popolna revolucija, imenuje obdobje in je označen s T.

Poleg tega je pri popolnem zavoju prevoženi kot 2π, tako da je pri enakomernem vrtenju kotna hitrost ω povezana z obdobjem T po naslednji formuli:

Frekvenca f enakomernega vrtenja je opredeljena kot količnik med številom zavojev in časom, ki ga uporabimo za prehod skozi njih, to je, če se v času Δt opravi N obratov, potem bo frekvenca:

f = N / Δt

Ker je en zavoj (N = 1) prehoden v času T (obdobje), dobimo naslednje razmerje:

f = 1 / T

To pomeni, da je pri enakomernem vrtenju kotna hitrost povezana s frekvenco preko relacije:

ω = 2π ・ f

Razmerje med kotno in linearno hitrostjo

Linearna hitrost v je količnik med prevoženo razdaljo in časom, potrebnim za prehod. Na sliki 2 je prevožena razdalja dolžina loka Δs.

Lok Δs je sorazmeren s prehodnim kotom Δϕ in polmerom r, pri čemer je izpolnjeno naslednje razmerje:

Δs = r ・ Δϕ

Pod pogojem, da se Δϕ meri v radianih.

Če prejšnji izraz delimo s časovnim zamikom Δt, dobimo:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Koeficient prvega člana je linearna hitrost, količnik drugega člana pa povprečna kotna hitrost:

v = r ・ ω

Rešene vaje

-Vežba 1

Konice rezil stropnih ventilatorjev, prikazane na sliki 1, se premikajo s hitrostjo 5 m / s, rezila pa imajo polmer 40 cm.

S temi podatki izračunajte: i) povprečno kotno hitrost kolesa, ii) število obratov kolesa v eni sekundi, iii) obdobje v sekundah.

Rešitev

i) Linearna hitrost je v = 5 m / s.

Polmer je r = 0,40 m.

Iz razmerja med linearno in kotno hitrostjo rešimo slednjo:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 obrata / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 obrata / s) = 0,5 s za vsak zavoj.

-Vežba 2

Otroški voziček se giblje po krožni progi s polmerom 2m. Pri 0s je kotni položaj 0 rad, toda po t je njegov kotni položaj

φ (t) = 2 ・ t.

S temi podatki

i) izračunajte povprečno kotno hitrost v naslednjih časovnih intervalih; ; in končno v izteku.

ii) Na podlagi rezultatov dela i) Kaj lahko rečemo o gibanju?

iii) Iz dela i) določite povprečno linearno hitrost v istem časovnem obdobju.

iv) Poiščite kotno hitrost in linearno hitrost za vsak trenutek.

Rešitev

i) Srednja kotna hitrost je podana z naslednjo formulo:

Nadaljujemo z izračunom prehojenega kota in pretečenega časa v vsakem intervalu.

Interval 1: Δϕ = ϕ (0,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 0,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 1,0 rad

Δt = 0,5s - 0,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Interval 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1,0s - 0,5s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Interval 3: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (1,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 1,0s = 1,0 rad

Δt = 1,5s - 1,0s = 0,5s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Interval 4: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 3,0 rad

Δt = 1,5s - 0,0s = 1,5s

ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5s = 2,0 rad / s

ii) Glede na prejšnje rezultate, pri katerih je bila povprečna kotna hitrost izračunana v različnih časovnih intervalih in vedno dobimo enak rezultat, kaže, da gre za enakomerno krožno gibanje. Vendar ti rezultati niso prepričljivi.

Način za zagotovitev zaključka je izračun srednje kotne hitrosti za poljuben interval: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

To pomeni, da ima otroški voziček v katerem koli obravnavanem obdobju konstantno povprečno kotno hitrost 2 rad / s. Lahko pa grete dlje, če izračunate takojšnjo kotno hitrost:

To se razlaga tako, da ima avtomobil igrač vedno konstantno kotno hitrost = 2 rad / s.

Reference

1. Giancoli, D. Fizika. Načela z aplikacijami. 6. izdaja Dvorana Prentice. 30– 45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fizika: pogled na svet. 6 ^ta Urejanje skrajšano. Cengage Learning. 117.
3. Resnick, R. (1999). Fizično. Zvezek 1. Tretja izdaja v španščini. Mehika. Compañía Uredništvo Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. 7. Izdaja. Mehika. Uredi urednike za povezovanje učencev. 32–55.
5. Wikipedija. Kotna hitrost. Pridobljeno: wikipedia.com