KOTNA HITROST: OPREDELITEV, FORMULA, IZRAČUN IN VAJE - FIZIČNO - 2026

Kotna hitrost je merilo vrtilno hitrostjo, ki je opredeljena kot kot, ki se vrti na položaj vektor vrtečega predmeta, v časovni enoti. To je veličina, ki zelo dobro opisuje gibanje množice predmetov, ki se nenehno vrtijo povsod: CD-ji, avtomobilska kolesa, stroji, Zemlja in še veliko več.

Diagram "londonskega očesa" je razviden na naslednji sliki. Predstavlja gibanje potnika, predstavljeno s točko P, ki sledi krožni poti, imenovani c:

Shematski prikaz krožne poti, ki ji sledi potnik "londonskega očesa". Vir: self made.

Potnik zasede položaj P v trenutku t in kotni položaj, ki ustreza temu trenutku, je ϕ.

Od trenutka t preteče časovno obdobje Δt. V tem obdobju je nov pravočasni potnik P ', kotni položaj pa se je povečal za kot Δϕ.

Kako se izračuna kotna hitrost?

Za rotacijske količine se pogosto uporabljajo grške črke, da bi jih razlikovali od linearnih količin. Torej je v začetku srednja kotna hitrost ω _m opredeljena kot prevoženi kot v določenem časovnem obdobju.

Potem bo količnik Δϕ / Δt predstavljal srednjo kotno hitrost ω _m med instancama t in t + Δt.

Če želite izračunati kotno hitrost ravno v trenutku t, morate izračunati razmerje Δϕ / Δt, ko je Δt ➡0:

Razmerje med linearno in kotno hitrostjo

Linearna hitrost v je količnik med prevoženo razdaljo in časom, potrebnim za prehod.

Na zgornji sliki je prepotovan lok Δs. Toda ta lok je sorazmeren s prehojenim kotom in polmerom, pri čemer je izpolnjeno naslednje razmerje, ki velja, dokler se Δϕ meri v radianih:

Δs = r ・ Δϕ

Če prejšnji izraz delimo s časovnim zamikom Δt in vzamemo mejo, ko je Δt ➡0, dobimo:

v = r ・ ω

Enakomerno rotacijsko gibanje

Na sliki je slovito 'London eye', 135 metrov visoko vrteče se kolo, ki se počasi vrti, da se ljudje lahko vkrcajo v kabine na njegovem dnu in uživajo v londonski kulisi. Vir: Pixabay.

Rotacijsko gibanje je enakomerno, če je kateri koli opazovani trenutek v istem časovnem obdobju enak prehojenemu kotu.

Če je vrtenje enakomerno, potem kotna hitrost v vsakem trenutku sovpada s srednjo kotno hitrostjo.

Ko je končan celoten zavoj, je prehodni kot 2π (kar ustreza 360 °). Zato je pri enakomernem vrtenju kotna hitrost ω povezana z obdobjem T po naslednji formuli:

f = 1 / T

To pomeni, da je pri enakomernem vrtenju kotna hitrost povezana s frekvenco:

ω = 2π ・ f

Rešeni problemi kotne hitrosti

Vaja 1

Kabine velikega predilnega kolesa, znanega kot "London Eye", se počasi premikajo. Hitrost kabin je 26 cm / s, kolo pa premera 135 m.

S temi podatki izračunajte:

i) Kotna hitrost kolesa

ii) Frekvenca vrtenja

iii) Čas, ki je potreben, da se kabina naredi popoln zavoj.

Odgovori:

i) Hitrost v v m / s je: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Polmer je pol premera: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 obratov / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 obrata / s = 0,0368 obrata / min = 2,21 obrata / uro.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 krog / ura = 0,45311 ura = 27 min 11 sek

Vaja 2

Avto igrač se giblje po krožni progi s polmerom 2m. Pri 0 s je njegov kotni položaj 0 rad, toda čez čas t je kotni položaj izražen z:

φ (t) = 2 ・ t

Določi:

i) Kotna hitrost

ii) Linearna hitrost v vsakem trenutku.

Odgovori:

i) Kotna hitrost je izpeljanka kotnega položaja: ω = φ '(t) = 2.

Z drugimi besedami, avtomobil igrač ima v vsakem trenutku konstantno kotno hitrost, enako 2 rad / s.

ii) Linearna hitrost avtomobila je: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Vaja 3

Isti avto iz prejšnje vaje se začne ustavljati. Njegov kotni položaj kot funkcija je podan z naslednjim izrazom:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Določi:

i) Kotna hitrost v katerem koli trenutku

ii) Linearna hitrost v vsakem trenutku

iii) Čas, ki traja od trenutka, ko se začne upočasnjevati

iv) Potujoči kot

v) prevožena razdalja

Odgovori:

i) Kotna hitrost je izpeljanka kotnega položaja: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Linearno hitrost avtomobila v vsakem trenutku poda:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Čas, potreben za ustavitev od trenutka, ko se začne upočasnjevati, se določi tako, da se pozna trenutek, ko hitrost v (t) postane nič.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

To pomeni, da se po zaviranju ustavi 2 s.

iv) V obdobju 2s od takrat, ko začne zavirati do zaustavitve, se potuje kot, ki ga poda φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stopinj

v) V obdobju 2 s od začetka zaviranja do zaustavitve je razdalja s prevožena:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Vaja 4

Kolesa avtomobila so premera 80 cm. Če avto potuje s 100 km / h. Ugotovite: i) kotno hitrost vrtenja koles, ii) pogostost vrtenja koles, iii) število obratov, ki jih kolo naredi za 1 uro.

Odgovori:

i) Najprej bomo pretvorili hitrost avtomobila iz km / h v h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Kotna hitrost vrtenja koles je podana z:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Pogostost vrtenja koles je podana z:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 obratov / s

Frekvenca vrtenja je ponavadi izražena v vrtljajih na minuto vrtljajev

f = 11,05 obratov / s = 11,05 obratov / (1/60) min = 663,15 vrt./min

iii) Število krogov, ki jih kolo naredi v 1-urni vožnji, se izračuna, če vemo, da je 1 ura = 60 min in da je frekvenca število krogov N, deljeno s časom, v katerem so ti N krogi narejeni.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (obratov / min) x 60 min = 39788,7 obratov.

Reference

1. Giancoli, D. Fizika. Načela z aplikacijami. 6. izdaja Dvorana Prentice. 106–108.
2. Resnick, R. (1999). Fizično. Zvezek 1. Tretja izdaja v španščini. Mehika. Compañía Uredništvo Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. 7. Izdaja. Mehika. Uredi urednike za povezovanje učencev. 84–85.
4. geogebra.org