NORMALNI VEKTOR: IZRAČUN IN PRIMER - FIZIČNO - 2026

Normalni vektor je tista, ki določa smer pravokotno na neko geometrijsko subjekt obravnavan, ki je lahko s krivuljo, letalu ali površino, na primer.

Je zelo uporaben koncept pri pozicioniranju premikajočega se delca ali neke površine v prostoru. V spodnjem grafu je mogoče videti, kakšen je običajen vektor na poljubno krivuljo C:

Slika 1. Krivulja C z vektorjem, ki je normalen na krivuljo v točki P. Vir: Svjo

Razmislite o točki P na krivulji C. Točka lahko predstavlja premikajoči se delček, ki se giblje po poti v obliki črke C. Tangenta na krivuljo v točki P je narisana z rdečo barvo.

Upoštevajte, da je vektor T v vsaki točki tangenten na C, vektor N pa je pravokoten na T in kaže na središče namišljenega kroga, katerega lok je segment C. Vektorji so v tiskanem besedilu označeni s krepko pisavo, za razlikovati jih od drugih nevektorskih količin.

Vektor T vedno označuje, kje se delček giblje, zato označuje hitrost delca. Po drugi strani pa vektor N vedno kaže v smeri vrtenja delca, kar nakazuje na konkavnost krivulje C.

Kako priti normalni vektor do ravnine?

Normalni vektor ni nujno enotni vektor, to je vektor, katerega modul je 1, če pa je tako, ga imenujemo normalni enotni vektor.

Slika 2. Na levi sta ravnina P in dva vektorja, ki sta normalna za omenjeno ravnino. Na desni strani so vektorji v treh smereh, ki določajo prostor. Vir: Wikimedia Commons. Glej stran za avtorja

V mnogih aplikacijah je potrebno vektor normalno poznati na ravnino in ne krivuljo. Ta vektor razkriva orientacijo omenjene ravnine v prostoru. Na primer, upoštevajte ravnino P (rumeno) slike:

Na tej ravnini sta dva običajna vektorja: n ₁ in n ₂ . Uporaba ene ali druge je odvisna od konteksta, v katerem se nahaja omenjena ravnina. Pridobitev normalnega vektorja na ravnino je zelo preprosta, če je enačba ravnine znana:

Tu je vektor N izražen s pomočjo vektorjev pravokotne enote i , j in k , usmerjenih vzdolž treh smeri, ki določajo prostor xyz, glej sliko 2 desno.

Normalni vektor iz vektorskega produkta

Zelo preprost postopek za iskanje običajnega vektorja uporablja lastnosti vektorskega produkta med dvema vektorjema.

Kot je znano, tri različne točke, ki niso kolinearne med seboj, določajo ravnino P. Zdaj je mogoče dobiti dva vektorja u in v, ki pripadata omenjeni ravnini, ki imata te tri točke.

Ko dobimo vektorje, je vektorski produkt u x v operacija, katere rezultat je posledično vektor, ki ima lastnost, da je pravokoten na ravnino, določeno z u in v .

Ta vektor je znan kot N in iz njega bo mogoče določiti enačbo ravnine po enačbi iz prejšnjega oddelka:

N = u x v

Naslednja slika prikazuje opisani postopek:

Slika 3. Z dvema vektorjema in njihovim vektorskim produktom ali križanjem se določi enačba ravnine, ki vsebuje oba vektorja. Vir: Wikimedia Commons. Avtor ni na voljo za branje avtorja. M.Romero Schmidtke domneval (na podlagi trditev o avtorskih pravicah).

Primer

Poiščite enačbo ravnine, določeno s točkami A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Rešitev

Ta vaja ponazarja zgoraj opisani postopek. S 3 točkami je eden izmed njih izbran za skupni izvor dveh vektorjev, ki pripadata ravnini, ki je določena s temi točkami. Na primer, točka A je postavljena kot izvor in narejena vektorja AB in AC .

Vektor AB je vektor, katerega izvor je točka A in katerega končna točka je točka B. Koordinate vektorja AB so določene z odštevanjem koordinat B od koordinat A:

Na enak način nadaljujemo z iskanjem vektorja AC :

Izračun vektorskega produkta

Obstaja več postopkov za iskanje križnega izdelka med dvema vektorjema. V tem primeru je uporabljen mnemonični postopek, ki za iskanje vektorskih produktov med vektorji enot i , j in k uporabi naslednjo sliko :

Slika 4. Graf za določitev vektorskega produkta med enotami. Vir: self made.

Za začetek je dobro zapomniti, da so vektorski izdelki med vzporednimi vektorji nični, zato:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

In ker je vektorski izdelek drug vektor, pravokoten na sodelujoče vektorje, ki se premika v smeri rdeče puščice, imamo:

Če se morate premikati v nasprotni smeri puščice, dodajte znak (-):

Skupno je mogoče narediti 9 vektorskih izdelkov z enotami vektorji i , j in k , od katerih bodo 3 nični.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Enačba ravnine

Vektor N je določen s predhodno izračunanim vektorskim produktom:

N = 2 i -8 j -2 k

Zato je a = 2, b = -8, c = -2, iskana ravnina je:

Vrednost d še ni določena. To je enostavno, če so vrednosti katere koli od razpoložljivih točk A, B ali C nadomeščene v enačbi ravnine. Izbira na primer:

x = 4; y = 2; z = 1

Ostanki:

Na kratko, iskani zemljevid je:

Radoveden bralec se lahko vpraša, ali bi bil dosežen enak rezultat, če bi ga namesto AB x AC izbrali za AC x AB. Odgovor je pritrdilen, ravnina, določena s temi tremi točkami, je edinstvena in ima dva običajna vektorja, kot je prikazano na sliki 2.

Kar zadeva točko, izbrano kot izvor vektorjev, ni nobene težave pri izbiri katerega koli od drugih dveh.

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost in tehniko. Zvezek 1. Kinematika. Uredil Douglas Figueroa (USB). 31–62.
2. Iskanje normale na ravnini. Obnovljeno iz: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Izračun in analitična geometrija. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Črte in ravnine v R 3. Pridobljeno: math.harvard.edu.
5. Normalni vektor. Pridobljeno iz spletnega mesta mathworld.wolfram.com.