SCALENE TRIKOTNIK: ZNAČILNOSTI, FORMULA IN OBMOČJA, IZRAČUN - MATEMATIKA - 2026

Scalene trikotnik je mnogokotnik s treh strani, od katerih vse imajo različne ukrepe ali dolžine; zaradi tega je dobila ime skale, kar v latinščini pomeni plezanje.

Trikotniki so mnogokotniki, ki veljajo za najpreprostejše v geometriji, saj jih sestavljajo tri strani, trije koti in tri točki. V primeru trikotnika skale, če imamo vse strani različne, to pomeni, da bodo tudi njegovi trije koti preveč.

Značilnosti lestvic trikotnikov

Scalene trikotniki so preprosti mnogokotniki, ker nobena od njihovih strani ali kotov nima enake mere, za razliko od enakih in enakostraničnih trikotnikov.

Ker imajo vse njihove strani in koti različne mere, se ti trikotniki štejejo za nepravilne konveksne mnogokotnike.

Na podlagi amplitude notranjih kotov so skale trikotniki razvrščeni kot:

• Desni trikotnik Scalene : vse strani so različne. Eden od njegovih kotov je pravi (90 ^ali ), drugi pa ostri in z različnimi ukrepi.
• Trikotni lestvici trikotnika : vse strani so različne, eden od njihovih kotov pa je tupak (> 90 ^ali ).
• Scalene akutni trikotnik : vse strani so različne. Vsi koti so akutni (<90 ^ali ) z različnimi ukrepi.

Druga značilnost skalenskih trikotnikov je, da zaradi neskladnosti njihovih strani in kotov nimajo osi simetrije.

Komponente

Mediana : je črta, ki se začne od sredine ene strani in doseže nasprotni vrh. Trije mediani se srečujejo na točki, imenovani baricenter ali centroid.

Bisektor : to je žarek, ki loči vsak kot na dva kota enake mere. Bisektorji trikotnika se srečajo na točki, imenovani spodbujevalnik.

Dvokolesnik : je odsek, pravokoten na stran trikotnika, ki ima izvor v sredini. V trikotniku so trije bisektorji in se srečujejo na točki, imenovani obodnik.

Višina : to je črta, ki gre od vrha na stran, ki je nasprotna in je tudi ta premica pravokotna na to stran. Vsi trikotniki imajo tri višine, ki sovpadajo v točki, imenovani ortocenter.

Lastnosti

Scalene trikotniki so opredeljeni ali identificirani, ker imajo več lastnosti, ki jih predstavljajo, izvirajo iz izrek, ki so ga predlagali veliki matematiki. To so:

Notranji koti

Vsota notranjih kotov je vedno enaka 180 ^° .

Vsota strani

Vsota ukrepov dveh strani mora biti vedno večja od mere tretje strani, a + b> c.

Neusmerne strani

Vse strani skale trikotnikov imajo različne mere ali dolžine; torej so neskladni.

Brezglavi koti

Ker so vse strani skale trikotnika različne, bodo tudi njegovi koti preveč. Vendar bo vsota notranjih kotov vedno enaka 180 °, v nekaterih primerih pa je lahko eden od njegovih kotov obtičen ali pravi, pri drugih pa bodo vsi koti ostri.

Višina, mediana, bisektor in bisektor nista naključna

Tako kot kateri koli trikotnik ima tudi skala različne segmente vrstic, ki jih sestavljajo, kot so: višina, srednja vrednost, bisektor in bisektor.

Zaradi posebnosti njegovih strani v tej vrsti trikotnika nobena od teh vrstic ne bo sovpadala v eni.

Ortocenter, baricenter, spodbujevalnik in obodmerec niso naključni

Ker so višina, mediana, bisektor in bisektor predstavljeni z različnimi odseki črt, v skale trikotnika bodo točke srečanja - ortocenter, spodbujevalnik in obodnik - na različnih točkah (ne sovpadajo).

Ortocenter ima različne lokacije glede na to, ali je trikotnik akutni, pravi ali lestvici:

do. Če je trikotnik oster, bo ortocenter znotraj trikotnika.

b. Če je trikotnik pravi, bo ortocenter sovpadal z vrhom desne strani.

c. Če je trikotnik zasut, bo ortocenter na zunanji strani trikotnika.

Relativne višine

Višine so glede na stranice.

V primeru trikotnika skale bodo te višine različne meritve. Vsak trikotnik ima tri relativne višine in za njihovo izračunavanje se uporablja Heronova formula.

Kako izračunati obod?

Obod mnogokotnika se izračuna tako, da se prištejejo stranice.

Ker ima v tem primeru skale trikotnik vse strani z različnimi meritvami, bo njegov obod:

P = stran a + stran b + stran c.

Kako izračunati površino?

Površina trikotnikov se vedno izračuna z isto formulo, pomnoži višino osnovne čase in deli z dvema:

Območje = (osnova _* h) ÷ 2

V nekaterih primerih višina skale trikotnika ni znana, vendar obstaja formula, ki jo je predlagal matematik Herón, za izračun območja, ki pozna merilo treh strani trikotnika.

Kje:

• a, b in c predstavljajo stranice trikotnika.
• sp, ustreza polperimetru trikotnika, torej polovici oboda:

sp = (a + b + c) ÷ 2

V primeru, da imamo le merilo dveh strani trikotnika in kota, ki se tvorita med njima, lahko površino izračunamo z uporabo trigonometričnih razmerij. Torej morate:

Območje = (stran _* h) ÷ 2

Kjer je višina (h) produkt ene strani in sinus nasprotnega kota. Na primer, za vsako stran bo območje:

• Območje = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Območje = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Območje = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Kako izračunati višino?

Ker so vse strani skale trikotnika različne, ni mogoče izračunati višine s Pitagorovim izrekom.

Iz Heronove formule, ki temelji na meritvah treh strani trikotnika, je mogoče izračunati površino.

Višino je mogoče razbrati iz splošne formule območja:

Stran se nadomesti z merilom strani a, b ali c.

Drug način izračuna višine, ko je znana vrednost enega od kotov, je uporaba trigonometričnih razmerij, kjer bo višina predstavljala nogo trikotnika.

Na primer, ko je znan kot proti višini, ga določimo s sinusom:

Kako izračunati strani?

Ko imate merilo dveh strani in kota nasproti njiju, je mogoče določiti tretjo stran z uporabo teorema kosinusa.

Na primer, v trikotniku AB je narisana višina glede na odsek AC. Na ta način je trikotnik razdeljen na dva desna trikotnika.

Za izračun strani c (odsek AB) uporabimo pitagorejski izrek za vsak trikotnik:

• Za modri trikotnik imamo:

c ² = h ² + m ²

Ker je m = b - n, nadomestimo:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Za roza trikotnik morate:

h ² = a ² - n ²

Nadomeščen je v prejšnji enačbi:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Če je n = a _* cos C, ga v prejšnji enačbi nadomestimo in dobimo vrednost strani c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Z zakonom o kozinikih se strani lahko izračunajo kot:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Obstajajo primeri, ko mere strani trikotnika niso znane, temveč njihova višina in koti, oblikovani v točki. Za določitev območja v teh primerih je potrebno uporabiti trigonometrična razmerja.

Če poznamo kot enega od njegovih vrhov, noge prepoznamo in uporabimo ustrezno trigonometrično razmerje:

Na primer, noga AB bo nasprotna za kot C, vendar zraven kota A. Glede na stran ali nogo, ki ustreza višini, se druga stran očisti, da dobi vrednost tega.

Vaje

Prva vaja

Izračunajte površino in višino skale trikotnika ABC, vedoč, da so njegove strani:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Rešitev

Kot podatek so podane meritve treh strani skale trikotnika.

Ker vrednost višine ni na voljo, je mogoče določiti območje z uporabo Heronove formule.

Najprej se izračuna polperimeter:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Zdaj so vrednosti nadomeščene v Heronovi formuli:

Če poznamo območje, lahko izračunamo višino glede na stran b. Iz splošne formule, ki jo razčistimo, imamo:

Območje = (stran _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druga vaja

Glede na trikotni trikotnik ABC, katerega ukrepi so:

• Odsek AB = 25 m.
• Odsek BC = 15 m.

V točki B se oblikuje kot 50 °. Izračunajte višino glede na stran c, obod in površino tega trikotnika.

Rešitev

V tem primeru imamo meritve dveh strani. Za določitev višine je potrebno izračunati meritev tretje strani.

Ker je podan kot, ki je nasproten dani strani, lahko uporabimo zakon kosinusov za določitev mere stranske AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kje:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Podatki se nadomestijo:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367.985

b = 67367.985

b = 19,18 m.

Ker že imamo vrednost treh strani, se izračuna obod tega trikotnika:

P = stran a + stran b + stran c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Zdaj je mogoče določiti območje z uporabo Heronove formule, vendar je treba najprej izračunati polperimeter:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Meritve stranic in polperimetra so nadomeščene v Heronovi formuli:

Na koncu poznamo območje, lahko izračunamo višino glede na stran c. Iz splošne formule, če jo želite počistiti, morate:

Območje = (stran _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tretja vaja

V skale trikotnika ABC stran b je 40 cm, stran c je 22 cm, na vrhu A pa je oblikovan kot 90 ^ali . Izračunaj površino tega trikotnika.

Rešitev

V tem primeru so podane mere dveh strani skale trikotnika ABC in kot, ki je tvorjen v točki A.

Za določitev območja ni potrebno izračunati mere strani a, saj se skozi trigonometrična razmerja uporablja kot, da ga najdemo.

Ker je kot, nasprotno višini, znan, ga bomo določili z izdelkom ene strani in sinusom kota.

Z nadomestilom v formuli območja imamo:

• Območje = (stran _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Območje = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Površina = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Površina = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Površina = 880 cm ² ÷ 2

Površina = 440 cm ² .

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehnična risba: zvezek z aktivnostmi.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrije. CR tehnologija,.
3. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Barbosa, JL (2006). Ravna evklidska geometrija. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije. Mehika: Limusa-Wiley
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Osnovna geometrija za študente. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Teme iz teorije geometrijskih skupin. University of Chicago Press.