TORRICELLIJEV IZREK: KAJ SESTAVLJA, FORMULE IN VAJE - FIZIČNO - 2026

Izrek Torricelli ali načelo Torricelli navaja, da je stopnja tekočina izstopa v odprtino v steni posode ali posodi identičen tistemu, ki pridobi predmet je prosto pade z višine, ki je enaka površini brez tekočine v luknjo.

Izrek je prikazan na naslednji sliki:

Ilustracija Torricellijevega teorema. Vir: self made.

Zaradi Torricellijevega teorema lahko nato trdimo, da je izhodna hitrost tekočine skozi odprtino, ki je na višini h pod prosto površino tekočine, podana z naslednjo formulo:

Kjer je g pospešek gravitacije in h višina od luknje do proste površine tekočine.

Evangelista Torricelli je bil fizik in matematik, rojen v mestu Faenza v Italiji leta 1608. Torricelli je zaslužen za izum barometra živega srebra in po priznanju obstaja tlačna enota imenovana "torr", kar ustreza enemu milimetru živega srebra (mm Hg).

Dokaz izrek

V Torricellijevem teoremu in v formuli, ki daje hitrost, predvidevamo, da so izgube viskoznosti zanemarljive, tako kot pri prostem padu domnevamo, da je trenje zaradi zraka, ki obdaja padajoči predmet, zanemarljivo.

Zgornja domneva je v večini primerov smiselna in vključuje tudi ohranjanje mehanske energije.

Da dokažemo izrek, bomo najprej našli formulo hitrosti za objekt, ki se sprosti z nič začetno hitrostjo, z enake višine kot površina tekočine v rezervoarju.

Načelo ohranjanja energije se bo uporabljalo za pridobivanje hitrosti padajočega predmeta ravno takrat, ko se je spustil v višino h, enako višini od luknje do proste površine.

Ker izgube zaradi trenja ni, velja načelo ohranjanja mehanske energije. Predpostavimo, da ima padajoči objekt maso m in da se višina h meri iz izhodne ravni tekočine.

Padajoči predmet

Ko se predmet sprosti z višine, ki je enaka višini proste površine tekočine, je njegova energija samo gravitacijski potencial, saj je njegova hitrost enaka nič, zato je kinetična energija enaka nič. Potencialno energijo Ep podaja:

Ep = mgh

Ko gre pred luknjo, je njegova višina enaka nič, potem je potencialna energija enaka nič, zato ima samo kinetično energijo Ec, ki jo poda:

Ec = ½ mv ²

Ker je energija ohranjena Ep = Ec od tega, kar dobimo:

½ mv ² = mgh

Rešimo za hitrost v, nato dobimo Torricellijevo formulo:

Tekočina, ki prihaja iz luknje

Nato bomo našli izhodno hitrost tekočine skozi luknjo, da bi pokazali, da sovpada s hitrostjo, ki je bila ravno izračunana za prosto padajoči predmet.

Za to se bomo oprli na princip Bernoullija, ki ni nič drugega kot ohranjanje energije, ki se uporablja za tekočine.

Bernoullijevo načelo je formulirano tako:

Razlaga te formule je naslednja:

• Prvi izraz predstavlja kinetično energijo tekočine na enoto prostornine
• Drugo predstavlja delo, opravljeno s tlakom na enoto prečnega prereza
• Tretji predstavlja gravitacijsko potencialno energijo na enoto prostornine tekočine.

Ko izhajamo iz predpostavke, da gre za idealno tekočino, v ne-turbulentnih pogojih z razmeroma nizkimi hitrostmi, potem je primerno potrditi, da je mehanska energija na enoto prostornine v tekočini konstantna v vseh njenih območjih ali presekih.

V tej formuli V je hitrost tekočine, ρ gostota tekočine, P tlak in z navpični položaj.

Spodnja slika prikazuje Torricellijevo formulo, ki izhaja iz Bernoullijevega načela.

Bernoullijevo formulo nanesemo na prosto površino tekočine, ki jo označimo s (1), in na izhodno luknjo, ki jo označimo z (2). Ničelna raven glave je bila izbrana skupaj z izhodno luknjo.

V skladu s predpostavko, da je presek v (1) veliko večji kot v (2), lahko domnevamo, da je hitrost spuščanja tekočine v (1) praktično zanemarljiva.

Zaradi tega je nastavljen V ₁ = 0, tlak, ki mu je podvržena tekočina v (1), je atmosferski tlak in višina, izmerjena iz ustja, je h.

Za izpustni odsek (2) predpostavljamo, da je izhodna hitrost v, tlak, ki ga ima tekočina na izhodu, pa je tudi atmosferski tlak in izstopna višina je nič.

Vrednosti, ki ustrezajo poglavjem (1) in (2), zamenjajte v Bernoullijevi formuli in jih postavite na enake. Enakost velja, ker domnevamo, da je tekočina idealna in ni viskoznih izgub zaradi trenja. Ko so vsi izrazi poenostavljeni, se doseže hitrost na izhodni luknji.

Zgornje polje prikazuje, da je dobljeni rezultat enak rezultatu prosto padajočega predmeta,

Rešene vaje

Vaja 1

I ) Majhna odtočna cev vodne posode je 3 m pod površino vode. Izračunajte izhodno hitrost vode.

Rešitev:

Naslednja slika prikazuje, kako se Torricellijeva formula uporablja v tem primeru.

Vaja 2

II ) Ob predpostavki, da ima izstopna cev rezervoarja iz prejšnje vaje premer 1 cm, izračunajte pretok vode.

Rešitev:

Hitrost pretoka je prostornina tekočine, ki izstopa na enoto, in se izračuna preprosto tako, da se pomnoži območje izhodne odprtine z izhodno hitrostjo.

Naslednja slika prikazuje podrobnosti izračuna.

Vaja 3

III ) Ugotovite, kako visoka je prosta površina vode v posodi, če veste

da v luknji na dnu posode voda izstopi pri 10 m / s.

Rešitev:

Tudi ko je luknja na dnu posode, še vedno lahko nanesemo formulo Torricelli.

Naslednja slika prikazuje podrobnosti izračunov.

Reference

1. Wikipedija. Torricellijev izrek.
2. Hewitt, P. Konceptualna fizikalna znanost. Peta izdaja .119.
3. Mladi, Hugh. 2016. Univerzitetna fizika Sears-Zemansky s sodobno fiziko. 14. ed. Pearson. 384.