STEINERJEV IZREK: RAZLAGA, APLIKACIJE, VAJE - FIZIČNO - 2026

Steiner je izrek , znan tudi kot vzporedni osi izrek, da oceni vztrajnostni moment podaljšano telo, okoli osi, ki je vzporedna z drugo, ki poteka skozi težišče predmeta.

Odkril ga je švicarski matematik Jakob Steiner (1796–1863) in navaja naslednje: naj bo _CM inervacija trenutka objekta glede na os, ki poteka skozi njegovo središče mase CM, in _z vztrajnostnim trenutkom glede na drugo os vzporedno s tem.

Slika 1. Pravokotna vrata, ki se vrtijo na tečajih, imajo vztrajnostni moment, ki ga je mogoče izračunati z uporabo Steinerjevega teorema. Vir: Pixabay.

Če poznamo razdaljo D, ki loči obe osi in maso M zadevnega telesa, je vztrajnostni moment glede na neznano os:

Vztrajnostni trenutek kaže, kako enostavno se je predmet vrteti okoli določene osi. To ni odvisno samo od mase telesa, ampak od tega, kako je razporejeno. Zaradi tega je znana tudi kot rotacijska vztrajnost, saj so njene enote v mednarodnem sistemu Kg. m ² .

Iz teorema je razvidno, da je moment vztrajnosti I _z vedno večji od trenutka vztrajnosti I _CM za količino, ki jo poda MD ² .

Prijave

Ker se predmet lahko vrti okoli številnih osi in je v tabelah ponavadi naveden le vztrajnostni moment glede na os, ki poteka skozi centroid, Steinerjev izrek olajša izračun, ko je treba vrteti telesa okoli osi ki se temu ne ujemajo.

Na primer, vrata se običajno ne vrtijo okoli osi skozi središče mase, ampak okoli stranske osi, kjer se pritrdijo tečaji.

S poznavanjem vztrajnostnega trenutka je mogoče izračunati kinetično energijo, povezano z vrtenjem okoli osi. Če je K kinetična energija, sem vztrajnostni moment okoli zadevne osi in ω kotna hitrost, potem sledi:

Ta enačba je zelo podobna zelo znani formuli kinetične energije za objekt mase M, ki se giblje s hitrostjo v: K = ½ Mv ² . In to je, da igra vztrajnosti ali vrtenja inercije I pri vrtenju enako vlogo kot masa M v prevodu.

Dokaz o Steinerjevem izreku

Inercija razširjenega predmeta je opredeljena kot:

I = ∫ r ² dm

Kjer je dm neskončno majhen del mase in r je razdalja med dm in osjo vrtenja z. Na sliki 2 je ta os prečkala sredino mase CM, vendar je lahko katera koli.

Slika 2. Predmet, ki se vrti okoli dveh vzporednih osi. Vir: F. Zapata.

Okoli druge z 'osi je vztrajnostni moment:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Zdaj je glede na trikotnik, ki ga tvorijo vektorji D , r in r ' (glej sliko 2 na desni), vektorska vsota:

r + r ' = D → r' = D - r

Trije vektorji ležijo na ravnini predmeta, kar je lahko xy. Za koordinatne izračune, ki sledijo, je v CM izbran izvor koordinatnega sistema (0,0).

Na ta način je kvadratni modul vektorja r ' :

Zdaj je ta razvoj nadomeščen v integralu inercijskega trenutka I _z in uporablja se tudi definicija gostote dm = ρ.dV:

Izraz M. D ^2, ki se pojavi v Steinerjevem teoremu, izvira iz prvega integral, drugi pa je vztrajnostni moment glede na os, ki poteka skozi CM.

Tretji in četrti integral sta vredna 0, saj po definiciji predstavljata položaj CM, ki je bil izbran za izvor koordinatnega sistema (0,0).

Rešene vaje

-Rešena vaja 1

Pravokotna vrata na sliki 1 imajo maso 23 kg, široko 1,30 in visoko 2,10 m. Določite vztrajnost vrat glede na os, ki poteka skozi tečaje, ob predpostavki, da so vrata tanka in enakomerna.

Slika 3. Shema za obdelani primer 1. Vir: spremenjeno iz Pixabay-a.

Rešitev

V tabeli vztrajnosti za pravokotno ploščo z maso M in dimenzijama a in b je vztrajnostni moment glede na os, ki poteka skozi njegovo središče mase: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Domneva se homogena vrata (približek, saj vrata na sliki verjetno niso tako). V takem primeru središče mase prehaja skozi njegovo geometrijsko središče. Na sliki 3 je narisana os, ki poteka skozi središče mase in ki je vzporedna tudi z osjo, ki poteka skozi tečaje.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Uporaba Steinerjevega izrekanja za zeleno vrtenje osi:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Rešena vaja 2

Poiščite vztrajnost homogenega tankega droga, ko se vrti okoli osi, ki poteka skozi enega od njegovih koncev, glejte sliko. Je večji ali manjši od inercijskega trenutka, ko se vrti okoli svojega središča? Zakaj?

Slika 4. Shema za rešeni primer 2. Vir: F. Zapata.

Rešitev

Po tabeli inercije je vztrajnostni moment I _CM tanke palice z maso M in dolžine L enak: I _CM = (1/12) ML ²

In Steinerjev izrek pravi, da ko se zavrti okoli osi, ki gre skozi en konec D = L / 2, ostane:

Večja je, čeprav ne preprosto dvakrat, ampak 4-krat več, saj se druga polovica palice (na sliki ni zasenčena) vrti, kar opisuje večji polmer.

Vpliv razdalje do osi vrtenja ni linearen, ampak kvadratni. Masa, ki je dvakrat daljša od druge, ima vztrajnostni moment, sorazmeren (2D) ² = 4D ² .

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženirstvo in znanosti. Zvezek 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Rotacijsko gibanje. Pridobljeno od: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorem vzporedne osi. Pridobljeno: hiperfizika.fi-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 190-200.
5. Wikipedija. Izrek paralelne osi. Pridobljeno: en.wikipedia.org