Green je izrek je metoda izračuna, uporabljena za Vod Integrali dvojnih integralov ali površine. Vključene funkcije morajo biti označene kot vektorska polja in definirane znotraj poti C.
Na primer, linijski integralni izraz je zelo težko rešiti; vendar z uvedbo Greenovega teorema dvojni integrali postanejo povsem osnovni. Vedno je pomembno spoštovati pozitivno smer poti, to se nanaša na smer v nasprotni smeri urinega kazalca.
Greenov izrek je poseben primer Stokesovega izrekanja, kjer se projekcija vektorske funkcije izvaja v ravnini xy.
Opredelitev
Izraz Greenovega teorema je naslednji:
V prvem izrazu je prikazana črta, sestavljena iz poti "C" skalarnega produkta med vektorsko funkcijo "F" in vektorjem "r".
C: To je definirana pot, na kateri bo projicirana vektorska funkcija, dokler je definirana za to ravnino.
F: vektorska funkcija, kjer je vsaka njena komponenta definirana s funkcijo kot tako (f, g).
r: Vektorska tangenta na regijo R, nad katero je definiran integral. V tem primeru delujemo z diferencialom tega vektorja.
V drugem izrazu vidimo razviti Greenov teorem, kjer opazujemo dvojni integral, določen v območju R razlike delnih izpeljank g in f, glede na x in y. Z diferencialno površino, ki ni nič drugega kot produkt obeh dvodimenzionalnih diferencialov (dx.dy).
Ta izrek je popolnoma uporaben za vesoljske in površinske integrale.
Demonstracija
Če želite dokazati Greenov izrek na enostaven način, bomo to nalogo razdelili na 2 dela. Najprej bomo domnevali, da ima vektorska funkcija F le definicijo v različici i. Medtem ko bo funkcija "g", ki ustreza pretvorniku j, enaka nič.
Avtor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Najprej razvijemo črto, integralno čez pot C, za katero je pot razdeljena na dva odseka, ki gredo najprej od a do b in nato od b do a.
Za določen integral se uporablja opredelitev temeljnega izrek računa.
Izraz je preurejen v en sam integral, negativ je narejen kot skupni faktor in vrstni red dejavnikov je obrnjen.
Ob podrobnem opazovanju tega izraza postane razvidno, da smo pri uporabi meril primitivne funkcije v prisotnosti integralnega izraza, ki izhaja iz f glede na y. Ocenjeno v parametrih
Zdaj je dovolj, da domnevamo, da je vektorska funkcija F definirana samo za g (x, y) j . Kadar pri delovanju na podoben način kot prejšnji primer, dobimo naslednje:
Za konec se vzameta dva dokaza in se združijo v primeru, ko vektorska funkcija prevzame vrednosti za oba besedila. Na ta način je prikazano, kako se lahko črta integral po določitvi in obravnavanju kot enodimenzionalna trajektorija v celoti razvije za ravnino in prostor.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Na ta način je dokazan Greenov izrek.
Prijave
Uporaba Greennovega teorema je široka v vejah fizike in matematike. Te se razširijo na katero koli aplikacijo ali uporabo, ki se lahko dodeli k linijski integraciji.
Mehansko delo, ki ga izvaja sila F skozi pot C, lahko razvijemo s črto integral, ki je po Greennovem teoremu izražen kot dvojni integral območja.
Inercijski trenutki mnogih teles, ki so podvrženi zunanjim silam na različnih točkah uporabe, se prav tako odzivajo na linijske integrale, ki jih je mogoče razviti z Greenovim teoremom.
Ta ima v študijah odpornosti uporabljenih materialov več funkcij. Kjer je mogoče zunanje vrednosti količinsko ovrednotiti in jih upoštevati pred razvojem različnih elementov.
Na splošno Greenov izrek olajša razumevanje in definiranje področij, kjer so vektorske funkcije definirane glede na območje na poti.
Zgodovina
Objavljeno je bilo leta 1828 v delu Matematična analiza teorijam električne energije in magnetizma, ki ga je napisal britanski matematik George Green. V njem so raziskani precej odločilni razdelki o uporabi računanja v fiziki, kot so koncept potencialnih funkcij, Greenove funkcije in aplikacije njegovega samoimenovanega izrekanja.
George Green je pri 40 letih formaliziral svojo študentsko kariero in bil do zdaj popolnoma samouk matematik. Po študiju na univerzi v Cambridgeu je nadaljeval raziskovanje in prispeval na področju akustike, optike in hidrodinamike, ki veljajo še danes.
Povezava z drugimi izrekami
Greenov teorem je poseben primer, izhaja pa iz dveh drugih zelo pomembnih izrek s področja računanja. To sta izrek Kelvin-Stokes in razhajanje ali Gauss Ostrogradski izrek.
Izhajajoč iz katerega koli od obeh izrek, lahko pridemo do Greenovega izrekanja. Za razvoj takšnih dokazov so potrebne nekatere opredelitve in predlogi.
Vaje
- Naslednja vaja prikazuje, kako spremeniti črto integral v dvojni integral glede na območje R.
Izvirni izraz je naslednji:
Od kod so vzeti ustrezni funkciji af in g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Ob uporabi Greennovega teorema ni enotnega načina določitve meja integracije. Obstajajo pa načini, ko so integrali po definiranju lahko preprostejši. Zato si zaslužita optimizacija omejitev integracije.
Kje pri reševanju integralov dobimo:
Ta vrednost ustreza v kubičnih enotah območju pod vektorsko funkcijo in nad trikotnim območjem, ki ga definira C.
V primeru integrirane vrstice brez izvajanja Greenove metode bi bilo treba parametrizirati funkcije v vsakem odseku regije. To pomeni, da za ločljivost opravite 3 parametrizirane integrale. To je dovolj dokazov o učinkovitosti, ki jo je Robert Green s svojim izrekom prinesel v račun.
Reference
- Uvod v mehaniko kontinuuma. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. julij. 2009
- Multivariatni račun. James Stewart. Cengage Learning, 22. mar 2011
- Neuradna zgodovina Greenove teoreme in z njo povezane ideje. James Joseph Cross. Oddelek za matematiko, Univerza v Melbournu, 1975
- Toplotna izvedba z uporabo zelenih funkcij. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. julij 2010
- Uporaba Greenovega teorema za ekstremiranje linearnih integralov. Obrambno tehnično informacijski center, 1961