Bayesov izrek je postopek, ki nam omogoča, da izrazijo pogojno verjetnost naključni dogodek A določenem B, glede verjetnostne porazdelitve dogodka A in B, ker verjetnostne porazdelitve samo A.
Ta izrek je zelo koristen, saj zahvaljujoč njemu lahko povežemo verjetnost, da se dogodek A zgodi ob vedenju, da se je zgodil B, z verjetnostjo, da se zgodi obratno, torej da se B zgodi z A.
Bayesov izrek je bil srebrni predlog velečasnega Thomasa Bayesa, angleškega teologa iz 18. stoletja, ki je bil tudi matematik. Bil je avtor več del iz teologije, danes pa je znan po nekaj matematičnih traktatih, med katerimi kot glavni rezultat izstopa omenjena Bayesova teorema.
Bayes se je s tem izrekom ukvarjal v delu z naslovom "Esej o reševanju problema v doktrini možnosti", objavljenem leta 1763, in o katerem je bilo razvitih veliko število. študije z aplikacijami na različnih področjih znanja.
Pojasnilo
Prvič, za boljše razumevanje tega izrek je potrebno nekaj osnovnih pojmov teorije verjetnosti, zlasti teorem množenja za pogojno verjetnost, ki pravi, da
Za E in A poljubne dogodke vzorčnega prostora S.
In definicija particij, ki nam pove, da če imamo A 1 , A 2 , …, A n dogodke vzorčnega prostora S, bodo ti tvorili particijo S, če sta A i medsebojno izključujoča in je njuna zveza S.
Glede na to naj bo B še en dogodek. Tako lahko B vidimo kot
Kjer je A i seka z B so med seboj izključujejo dogodkov.
In posledično
Nato uporabimo teorem množenja
Po drugi strani pa pogojno verjetnost Ai, ki jo poda B, definiramo s
Ustrezno nadomeščanje imamo to za vsako i
Uporaba Bayesove teoreme
Zahvaljujoč temu rezultatu je raziskovalnim skupinam in različnim korporacijam uspelo izboljšati sisteme, ki temeljijo na znanju.
Na primer, pri preučevanju bolezni lahko Bayesov teorem pomaga ugotoviti verjetnost, da se bolezen odkrije v skupini ljudi z dano značilnostjo, pri čemer upoštevamo globalne stopnje bolezni in razširjenost omenjenih značilnosti v tako zdravih kot bolnih ljudi.
Po drugi strani pa je v svetu visokih tehnologij vplivala na velika podjetja, ki so se zahvaljujoč temu rezultatu razvila, "na znanju temelječi" programski opremi.
Kot vsakdanji primer imamo pomočnika za Microsoft Office. Bayesov izrek pomaga programski opremi, da oceni težave, ki jih uporabnik predstavlja, in ugotovi, kakšen nasvet mu bo dal, in tako lahko ponudi boljšo storitev glede na navade uporabnika.
Zlasti je bila ta formula do nedavnega zanemarjena, predvsem zato, ker se je ta rezultat pred 200 leti razvil za njih malo. Vendar pa so v našem času znanstveniki, zahvaljujoč velikemu tehnološkemu napredku, našli načine, kako ta rezultat uresničiti.
Rešene vaje
Vaja 1
Podjetje za mobilne telefone ima dva stroja A in B. 54% proizvedenih mobilnih telefonov izdeluje stroj A, preostanek pa stroj B. Niso vsi proizvedeni mobilni telefoni v dobrem stanju.
Delež pokvarjenih mobilnih telefonov, ki jih izdeluje A, je 0,2, B pa 0,5. Kakšna je verjetnost, da je mobitel iz te tovarne pokvarjen? Kolikšna je verjetnost, da vem, da je mobilni telefon pokvarjen, prihaja iz stroja A?
Rešitev
Tu imate poskus, ki je narejen iz dveh delov; v prvem delu se dogajajo dogodki:
O: celica, izdelana s strojem A.
B: celica, izdelana s strojem B.
Ker stroj A proizvaja 54% mobilnih telefonov, preostanek pa proizvaja stroj B, iz tega sledi, da stroj B proizvede 46% mobilnih telefonov. Podane so verjetnosti teh dogodkov, in sicer:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Dogodki drugega dela poskusa so:
D: pokvarjen mobitel.
E: nepokvarjen mobilni telefon.
Kot je navedeno v izjavi, so verjetnosti teh dogodkov odvisne od rezultata, dobljenega v prvem delu:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
S temi vrednostmi je mogoče določiti tudi verjetnosti dopolnil teh dogodkov, to je:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
in
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Zdaj lahko dogodek D zapišemo na naslednji način:
Uporaba teorema množenja za rezultate pogojne verjetnosti:
Potem je odgovor na prvo vprašanje.
Zdaj moramo le izračunati P (AD), za katerega uporabimo Bayesov izrek:
Zahvaljujoč Bayesovemu teoremu lahko trdimo, da je verjetnost, da je mobilni telefon izdelal stroj A, ob vedenju, da je mobitel pokvarjen, 0,319.
Vaja 2
Tri škatle vsebujejo črno-bele kroglice. Sestava vsakega od njih je naslednja: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Eno od polj je izbrano naključno in naključno je narisana kroglica, ki se izkaže za belo. Kateri okvir je najverjetneje izbran?
Rešitev
Z uporabo U1, U2 in U3 bomo predstavljali tudi izbrani okvir.
Ti dogodki so delitev S in preverjeno je, da je P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, saj je izbira polja naključna.
Če je B = {narisana kroglica bela}, bomo imeli P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Kar želimo pridobiti, je verjetnost, da je kroglico vzel iz škatle Ui, vedoč, da je bila omenjena kroglica bela, torej P (Ui -B), in poglejte, katera od treh vrednosti je bila najvišja, za katero vemo, katera škatla najverjetneje je bil izvleček žogice.
Uporaba prvega dela Bayesovega teorema:
In za ostala dva:
P (U2-B) = 2/6 in P (U3-B) = 1/6.
Nato je prvi od škatel tisti, ki ima največjo verjetnost, da so bili izbrani za izvlečenje žoge.
Reference
- Kai Lai Chung. Elementarna teorija donosnosti s stohastičnimi procesi. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika in njene aplikacije. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Verjetnost in statistične aplikacije. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Dr. Seymour Lipschutz 2000 rešenih problemov diskretne matematike. McGRAW-HILL.
- Dr. Seymour Lipschutz Teoretične in verjetnostne težave. McGRAW-HILL.