SIMPSONOVO PRAVILO: FORMULA, DOKAZ, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Simpson je pravilo je metoda za izračun, približno, določeni integral. Temelji na deljenju intervala integracije na enakomerno število enako razporejenih pod-intervalov.

Skrajni vrednosti dveh zaporednih intervalov določata tri točke, po katerih se prilega parabola, katere enačba je polinom druge stopnje.

Slika 1. V Simpsonovi metodi je interval integracije razdeljen na enakomerno število intervalov enake širine. Funkcijo aproksimira parabola v vsakih 2 pod-intervalih, integral pa približa vsoti območja pod parabolo. Vir: upv.es.

Nato se površina pod krivuljo funkcije v dveh zaporednih intervalih približa območju interpolacijskega polinoma. Če dodamo prispevek k območju pod parabolo vseh zaporednih intervalov, dobimo približno vrednost integral.

Po drugi strani pa je mogoče, ker lahko integral parabole izračunamo algebraično natančno, potem je mogoče najti analitično formulo za približno vrednost določenega integral. Znana je kot Simpsonova formula.

Napaka tako dobljenega približnega rezultata se zmanjša, saj je število pododdelkov n večje (kjer je n sodo število).

Spodaj bo podan izraz, ki omogoča oceno zgornje meje napake približka integralu I, ko je bila razdeljena particija na n rednih pod intervalov celotnega intervala.

Formula

Interval integracije je razdeljen na n podinvare, pri čemer je n celo število. Širina vsakega podrazdelka bo:

h = (b - a) / n

Na ta način je particija narejena v intervalu:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Kjer je X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formula, ki omogoča približevanje določenega integralnega dela neprekinjene in po možnosti gladke funkcije v intervalu, je:

Demonstracija

Za pridobitev Simpsonove formule se funkcija f (X) približa polinomu druge stopnje p (X) (paraboli), ki poteka skozi tri točke:; in.

Potem se izračuna integral polinoma p (x), v katerem se približa integralu funkcije f (X) v tem intervalu.

Slika 2. Graf za prikaz Simpsonove formule. Vir: F. Zapata.

Koeficienti interpolacijskega polinoma

Enačba parabole p (X) ima splošno obliko: p (X) = AX ² + BX + C. Ko parabola poteka skozi točke Q, označene z rdečo (glej sliko), potem so koeficienti A, B, C so določene iz naslednjega sistema enačb:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Vidimo, da je določen koeficient C. Za določitev koeficienta A dodamo prvo in tretjo enačbo, dobimo:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Potem se vrednost C nadomesti in A se počisti:

A = / (2 h ² )

Za določitev koeficienta B tretjo enačbo odštejemo od prve in B rešimo, tako da dobimo:

B = = 2 h.

Če povzamemo, polinom druge stopnje p (X), ki poteka skozi točke Qi, Qi + 1 in Qi + 2, ima koeficiente:

A = / (2 h ² )

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Izračun približnega integral v

Približni izračun integral v

Kot smo že omenili, na celotnem intervalu integracije s particijo h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n naredimo particijo {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}, kjer n je sodo število.

Napaka približevanja

Upoštevajte, da se napaka zmanjša s četrto močjo števila pododdelkov v intervalu. Na primer, če preidete iz n pododdelkov na 2n, se napaka zmanjša za faktor 1/16.

Zgornja meja napake, dobljene s Simpsonovim približkom, je mogoče dobiti iz te iste formule, pri čemer četrti derivat nadomesti največjo absolutno vrednost četrtega izvoda v intervalu.

Primeri dela

- Primer 1

Razmislimo o funkciji f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Poiščite določen integral funkcije f (X) na intervalu z uporabo Simpsonove metode z dvema poddelomama (n = 2).

Rešitev

Vzemimo n = 2. Omejitve integracije sta a = -1 in b = -2, zato je particija videti tako:

X0 = -1; X1 = 0 in X2 = +1.

Zato ima Simpsonova formula naslednjo obliko:

Slika 3. Primer številčne integracije s Simpsonovim pravilom z uporabo programske opreme. Vir: F. Zapata.

Reference

1. Casteleiro, JM 2002. Celovit račun (ilustrirana izdaja). Madrid: Uredništvo ESIC.
2. UPV. Simpsonova metoda. Politehnična univerza v Valenciji. Pridobljeno: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Deveta izdaja. Dvorana Prentice.
4. Wikipedija. Simpsonovo pravilo. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. Wikipedija. Lagrangeova polinomna interpolacija. Pridobljeno: es.wikipedia.com