ZMANJŠANJE PODOBNIH IZRAZOV (Z REŠENIMI VAJAMI) - MATEMATIKA - 2026

Zmanjšanje takšnih pogojih je metoda za poenostavitev algebraične izraze. V algebričnem izrazu so podobni izrazi, ki imajo isto spremenljivko; to pomeni, da imajo enake neznanke, predstavljene s črko, in te iste eksponente.

V nekaterih primerih so polinomi obsežni, za dosego rešitve pa moramo poskusiti zmanjšati izražanje; To je mogoče, če obstajajo podobni izrazi, ki jih je mogoče kombinirati z uporabo operacij in algebričnih lastnosti, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje.

Pojasnilo

Podobno so izrazi sestavljeni iz istih spremenljivk z istimi eksponenti, ponekod pa jih razlikujemo le s številčnimi koeficienti.

Podobni izrazi se štejejo tudi za tiste, ki nimajo spremenljivk; torej tiste izraze, ki imajo samo konstante. Tako so na primer naslednji izrazi:

- 6x ² - 3x ² . Oba izraza imata isto spremenljivko x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Oba izraza imata enaki spremenljivki a ² b ³ .

- 7 - 6. Izrazi so stalni.

Izrazi z enakimi spremenljivkami, vendar z različnimi eksponenti, se imenujejo različni izrazi, kot so:

- 9a ² b + 5ab. Spremenljivke imajo različne eksponente.

- 5x + y. Spremenljivke so različne.

- b - 8. En izraz ima spremenljivko, drugi pa konstanto.

Če identificiramo podobne izraze, ki tvorijo polinom, jih je mogoče zmanjšati na enega in združiti vse tiste, ki imajo enake spremenljivke, z istimi eksponenti. Na ta način je izraz poenostavljen z zmanjšanjem števila izrazov, ki ga sestavljajo, in izračun njegove rešitve je olajšan.

Kako narediti znižanje podobnih izrazov?

Zmanjšanje podobnih izrazov se izvede z uporabo asociativne lastnosti dodajanja in distribucijske lastnosti izdelka. Z uporabo naslednjega postopka je mogoče zmanjšati izraz:

- Najprej so združeni izrazi.

- koeficienti (številke, ki spremljajo spremenljivke) podobnih izrazov se seštevajo ali odštejejo in uporabljajo asociativne, komutativne ali distribucijske lastnosti, odvisno od primera.

- Nato se napišejo novi izrazi, ki pred njimi postavijo znak, ki je bil rezultat operacije.

Primer

Zmanjšajte izraze naslednjega izraza: 10x + 3y + 4x + 5y.

Rešitev

Prvič, izrazi so uvrščeni v skupino tistih, ki so podobni, z uporabo lastnosti komutacije:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Nato se uporabi distribucijska lastnost in dodajo koeficienti, ki spremljajo spremenljivke, da dobimo zmanjšanje izrazov:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Za zmanjšanje podobnih izrazov je pomembno upoštevati znake koeficientov, ki spremljajo spremenljivko. Obstajajo trije možni primeri:

Zmanjšanje podobnih izrazov z enakimi znaki

V tem primeru se dodajo koeficienti in znak rezultata se postavi pred rezultat. Če so torej pozitivni, bodo dobljeni izrazi pozitivni; v primeru, da so izrazi negativni, bo rezultat imel znak (-), ki ga spremlja spremenljivka. Na primer:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Zmanjšanje podobnih izrazov c

V tem primeru se koeficienti odštejejo in pred rezultatom se postavi znak največjega koeficienta. Na primer:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² in.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 do ³ b.

Tako se za zmanjšanje podobnih izrazov z različnimi znaki oblikuje en sam aditivni izraz z vsemi tistimi, ki imajo pozitiven predznak (+), koeficienti se dodajo, rezultat pa spremljajo spremenljivke.

Na enak način se oblikuje odštevni izraz, pri čemer se vsi tisti izrazi, ki imajo negativen predznak (-), dodajo koeficienti in rezultat spremljajo spremenljivke.

Na koncu se odštejejo vsote obeh tvorjenih izrazov in na rezultatu se postavi znak večjega.

Zmanjšanje podobnih izrazov v operacijah

Zmanjšanje podobnih izrazov je delovanje algebre, ki jo lahko uporabimo poleg odštevanja, odštevanja, množenja in algebrske delitve.

V zneskih

Če imate več polinoma s podobnimi izrazi, če jih želite zmanjšati, se uredi, da se v vsakem polinomu zadržijo njihovi znaki, nato pa se zapišejo drug za drugim in podobni izrazi se zmanjšajo. Na primer, imamo naslednje polinomeje:

3x - 4xy + 7x ² in + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

V odštevanju

Če odštejemo en polinom od drugega, se napiše minuend, nato pa se spremeni subtrahend z njegovimi znaki in nato se izvede redukcija podobnih izrazov. Na primer:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Tako so polinomi povzeti na 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

V množitvi

V izdelku polinomi se izrazi, ki sestavljajo množico, pomnožijo z vsakim izrazom, ki tvori množitelj, ob upoštevanju, da znaki množenja ostanejo enaki, če so pozitivni.

Spremenjene bodo le, če jih pomnožimo z izrazom, ki je negativen; torej, če sta pomnožena dva izraza istega znaka, bo rezultat pozitiven (+), če imata različna znaka, pa bo rezultat negativen (-).

Na primer:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

V oddelkih

Ko želite z delitvijo zmanjšati dva polinoma, morate najti tretji polinom, ki, pomnožen z drugim (delitelj), povzroči prvi polinom (dividendo).

Za to je treba določiti pogoje dividende in delitelja od leve proti desni, tako da so spremenljivke v obeh v istem vrstnem redu.

Nato se deli delitev, začenši od prvega termina na levi strani dividende do prvega termina na levi strani delitelja, pri čemer vedno upoštevamo znake vsakega termina.

Na primer, zmanjšajte polinom: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² in ² + 4xy ³ - 15y ^{4, tako} da ^ga delite na polinom: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Nastalo polinom je -2x ² + 8xy - 5Y ² .

Rešene vaje

Prva vaja

Zmanjšajte izraze danega algebričnega izraza:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Rešitev

Uporablja se komutativna lastnost seštevanja, ki združuje izraze z enakimi spremenljivkami:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Nato se uporabi distribucijska lastnost množenja:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Nazadnje jih poenostavimo z seštevanjem in odštevanjem koeficientov vsakega pojma:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Druga vaja

Poenostavite produkt naslednjih polinomov:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Rešitev

Vsak izraz prvega polinoma se pomnoži z drugim ob upoštevanju, da so znaki izrazov različni; zato bo rezultat njegovega množenja negativen, prav tako je treba uporabiti zakone eksponentov.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Reference

1. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementarna in vmesna algebra: kombinirani pristop. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Algebra. Pearsonova vzgoja.
5. Vigil, C. (2015). Algebra in njene aplikacije.