Za simultano enačbe so te enačbe, ki morajo biti izpolnjeni hkrati. Zato morate imeti sočasne enačbe več kot eno enačbo.
Ko imate dve ali več različnih enačb, ki morajo imeti isto rešitev (ali enake rešitve), se reče, da imate sistem enačb ali pa tudi, da imate istočasne enačbe.
Ko imamo sočasne enačbe, se lahko zgodi, da nimajo skupnih rešitev ali imajo končno količino ali imajo neskončno količino.
Hkratne enačbe
Glede na dve različni enačbi Eq1 in Eq2 izhaja, da se sistem teh dveh enačb imenuje istočasni enačbi.
Hkratne enačbe zadovoljujejo, da če je S rešitev Eq1, potem je S tudi rešitev Eq2 in obratno
značilnosti
Ko gre za sistem istočasnih enačb, lahko imate 2 enačbi, 3 enačbe ali N enačbe.
Najpogostejše metode, ki se uporabljajo za reševanje hkratnih enačb, so: substitucija, izravnava in redukcija. Obstaja tudi druga metoda, imenovana Cramerjevo pravilo, ki je zelo uporabna za sisteme z več kot dvema sočasnima enačbama.
Primer hkratnih enačb je sistem
Eq1: x + y = 2
Eq2: 2x-y = 1
Vidimo, da je x = 0, y = 2 rešitev Eq1, vendar ni rešitev Eq2.
Edina skupna rešitev, ki jo imata obe enačbi, je x = 1, y = 1. To pomeni, da je x = 1, y = 1 je rešitev sistema sočasnih enačb.
Rešene vaje
Nato nadaljujemo z reševanjem sistema istočasnih enačb, ki je prikazan zgoraj, s pomočjo omenjenih treh metod.
Prva vaja
Rešimo sistem enačb Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 z uporabo metode substitucije.
Rešitev
Nadomestitvena metoda je sestavljena iz reševanja ene od neznank v eni od enačb in nato nadomestitve v drugi enačbi. V tem konkretnem primeru lahko rešimo za "y" iz Eq1 in dobimo, da je y = 2-x.
Če nadomestimo to vrednost «y» v Eq2, dobimo, da je 2x- (2-x) = 1. Zato dobimo, da je 3x-2 = 1, torej x = 1.
Potem, ker je vrednost x znana, jo nadomestimo z "y" in dobimo, da je y = 2-1 = 1.
Zato je edina rešitev sistema sočasnih enačb Eq1 in Eq2 x = 1, y = 1.
Druga vaja
Rešimo sistem enačb Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 z uporabo metode ujemanja.
Rešitev
Metoda ujemanja je sestavljena iz reševanja za isto neznano v obeh enačbah in nato uskladitve nastalih enačb.
Rešimo za "x" iz obeh enačb, dobimo, da je x = 2-y in da je x = (1 + y) / 2. Zdaj sta ti dve enačbi enačeni in dobimo tisto 2-y = (1 + y) / 2, iz česar sledi, da je 4-2y = 1 + y.
Če razvrstite neznano "y" na isti strani, dobite y = 1. Zdaj, ko je znano "y", nadaljujemo z iskanjem vrednosti "x". Če nadomestimo y = 1, dobimo, da je x = 2-1 = 1.
Zato je skupna rešitev med enačbama Eq1 in Eq2 x = 1, y = 1.
Tretja vaja
Rešimo sistem enačb Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 z uporabo metode redukcije.
Rešitev
Metoda zmanjšanja je sestavljena iz množenja enačb, podanih z ustreznimi koeficienti, tako da se pri seštevanju teh enačb ena od spremenljivk prekliče.
V tem konkretnem primeru ni treba pomnožiti nobene enačbe s katerim koli koeficientom, ampak jih le dodajte. Z dodajanjem Eq1 in Eq2 dobimo tisti 3x = 3, iz česar dobimo, da je x = 1.
Ko v Eq1 ocenjujemo x = 1, dobimo tisto 1 + y = 2, iz česar sledi, da je y = 1.
Zato je x = 1, y = 1 edina rešitev hkratnih enačb Eq1 in Eq2.
Četrta vaja
Rešimo sistem istočasnih enačb Eq1: 2x-3y = 8 in Eq2: 4x-3y = 12.
Rešitev
V tej vaji ni potrebna nobena posebna metoda, zato je mogoče uporabiti metodo, ki je najbolj ugodna za vsakega bralca.
V tem primeru bo uporabljena metoda redukcije. Če pomnožimo Eq1 z -2, dobimo enačbo Eq3: -4x + 6y = -16. Zdaj, če dodamo Eq3 in Eq2, dobimo, da je 3y = -4, torej y = -4 / 3.
Zdaj, ko v Eq1 ocenjujemo y = -4 / 3, dobimo, da je 2x-3 (-4/3) = 8, od koder je 2x + 4 = 8, torej x = 2.
Za zaključek je edina rešitev sistema sočasnih enačb Eq1 in Eq2 x = 2, y = -4 / 3.
Opazovanje
Metode, opisane v tem članku, se lahko uporabljajo v sistemih z več kot dvema sočasnima enačbama.
Več ko je enačb in več neznank je postopek za rešitev sistema bolj zapleten.
Vsaka metoda reševanja sistemov enačb bo dala enake rešitve, torej rešitve niso odvisne od uporabljene metode.
Reference
- Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MAT. Uvod v izračun. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe.: Kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, Paul, RS (2003). Matematika za management in ekonomijo. Pearsonova vzgoja.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
- Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Uredništvo Progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearsonova vzgoja.