DOPOLNILNI KOTI: KAJ SO, IZRAČUN, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Dva ali več sta dopolnilna kota, če seštevek njunih mer ustreza merilu ravnega kota. Mera ravnega kota, imenovanega tudi ravninski kot, v stopinjah je 180 °, v radianih pa π.

Na primer, ugotovimo, da so trije notranji koti trikotnika dopolnilni, saj je vsota njihovih mer 180 °. Na sliki 1 so prikazani trije koti. Iz zgoraj navedenega izhaja, da sta α in β dopolnjujoča, saj sta sosednja in njuna vsota dopolnjuje ravnokoten.

Slika 1: α in β sta dopolnilna. α in γ sta dopolnilna. Vir: F. Zapata.

Tudi na isti sliki imamo kota α in γ, ki sta tudi dopolnilna, saj je vsota njihovih mer enaka meritvi ravnine kota, to je 180º. Ne moremo reči, da sta kota β in γ dopolnilna, ker sta oba kota obtična, zato sta njuna merila večja od 90 ° in zato njihova vsota presega 180 °.

Vir: lifeder.com

Po drugi strani pa lahko trdimo, da je mera kota β enaka merilu kota γ, saj če je β dopolnil α in je γ dopolnil α, potem je β = γ = 135º.

Primeri

V naslednjih primerih najdemo neznane kote, označene z vprašalnimi znamkami na sliki 2. Ti segajo od najpreprostejših primerov do nekaterih malo bolj natančnih, da bi moral biti bralec bolj previden.

Slika 2. Več primerov dopolnjenih kotov. Vir: F. Zapata.

Primer A

Na sliki imamo, da sosednja kota α in 35 ° sekata na ravninski kot. To je α + 35º = 180º, zato je res, da je: α = 180º- 35º = 145º.

Primer B

Ker je β dopolnjen s kotom 50º, potem sledi, da je β = 180º - 50º = 130º.

Primer C

Iz slike 2C lahko razberemo naslednjo vsoto: γ + 90º + 15º = 180º. Se pravi, da je γ dopolnjen s kotom 105º = 90º + 15º. Zaključeno je, da:

γ = 180º- 105º = 75º

Primer D

Ker je X dopolnilni na 72 °, sledi, da je X = 180 ° - 72 ° = 108 °. Poleg tega je Y dopolnjen z X, tako da je Y = 180º - 108º = 72º.

In končno je Z dopolnil 72º, torej Z = 180º - 72º = 108º.

Primer E

Kotna δ in 2δ sta dopolnilna, zato je δ + 2δ = 180º. Kar pomeni, da je 3δ = 180º, to pa nam omogoča, da zapišemo: δ = 180º / 3 = 60º.

Primer F

Če poimenujemo kot med 100 ° in 50 ° U, potem jim je U dopolnjujoč, ker opazimo, da njihova vsota dopolnjuje ravninski kot.

Takoj sledi, da je U = 150 °. Ker je U nasproti točki W, je W = U = 150º.

Vaje

Spodaj so predlagane tri vaje, v vseh pa je treba najti vrednost kotov A in B v stopinjah, tako da so izpolnjena razmerja, prikazana na sliki 3. Koncept dopolnilnih kotov se uporablja pri reševanju vseh.

Slika 3. Slika za reševanje vaj I, II in III na dodatnih kotih. Vsi koti so v stopinjah. Vir: F. Zapata.

- Vaja I

Določite vrednosti kotov A in B iz dela I) slike 3.

Rešitev

A in B sta dopolnilna, iz česar imamo, da je A + B = 180 stopinj, nato sta izraza A in B nadomeščena kot funkcija x, kot je prikazano na sliki:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Dobimo linearno enačbo prvega reda. Za reševanje so pogoji spodaj združeni:

6 x + 60 = 180

Če razdelimo oba člana na 6, imamo:

x + 10 = 30

In na koncu reši, sledi, da je x vreden 20º.

Zdaj moramo priključiti vrednost x, da poiščemo želene kote. Zato je kot A: A = 20 +15 = 35 °.

In kot svoj del, je kot B B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Vaja II

Poiščite vrednosti kotov A in B iz dela II) slike 3.

Rešitev

Ker sta A in B dopolnilna kota, imamo to A + B = 180 stopinj. Če zamenjamo izraza za A in B kot funkciji x, podano v delu II) slike 3, imamo:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Ponovno dobimo enačbo prve stopnje, za katero je treba izraze priročno razvrstiti:

6 x + 60 = 180

Če razdelimo oba člana na 6, imamo:

x + 10 = 30

Iz tega sledi, da je x vreden 20º.

Z drugimi besedami, kot A = -2 * 20 + 90 = 50º. Medtem ko je kot B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Vaja III

Določite vrednosti kotov A in B iz dela III) slike 3 (zelene barve).

Rešitev

Ker sta A in B dopolnilna kota, imamo to A + B = 180 stopinj. Izraz za A in B moramo nadomestiti kot funkciji x, ki je na sliki 3, iz česar imamo:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Če ločimo oba člana na 12, da rešimo vrednost x, imamo:

x + 5 = 15

Končno se ugotovi, da je x vreden 10 stopinj.

Zdaj nadaljujemo z nadomestitvijo, da najdemo kot A: A = 5 * 10 -20 = 30 °. In za kot B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Dopolnilni koti v dveh vzporednicah, ki jih seka s sekantom

Slika 4. Koti med dvema vzporednikoma, ki jih preseka sekant. Vir: F. Zapata.

Dve vzporedni črti, ki jih preseka sekant, sta v nekaterih težavah običajna geometrijska konstrukcija. Med takimi črtami se oblikuje 8 kotov, kot je prikazano na sliki 4.

Od teh 8 kotov je nekaj parov kotov dopolnilnih, ki jih navajamo spodaj:

1. Zunanji koti A in B ter zunanji koti G in H
2. Notranji koti D in C ter notranji koti E in F
3. Zunanji koti A in G ter zunanji koti B in H
4. Notranji koti D in E ter notranjosti C in F

Za popolnost se imenujejo tudi enaki koti:

1. Notranji se izmenjujejo: D = F in C = E
2. Zunanji izmenički: A = H in B = G
3. Ustrezni: A = E in C = H
4. Nasprotja z vrhovima A = C in E = H
5. Ustrezni: B = F in D = G
6. Vertex nasprotuje B = D in F = G

- Vaja IV

Na sliki 4, ki prikazuje kote med dvema vzporednima črtama, ki jih seka s sekantom, določite vrednost vseh kotov v radianih, pri čemer vemo, da je kot A = π / 6 radianov.

Rešitev

A in B sta dodatna zunanja kota, zato sta B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Reference

1. Baldor, JA 1973. Ravna in vesoljska geometrija. Srednjeameriški kulturni.
2. Matematični zakoni in formule. Sistemi za merjenje kota Pridobljeno: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Pridobljeno: gutenberg.org.
4. Wikipedija. Dopolnilni koti. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. Wikipedija. Transportni trak. Pridobljeno: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: zgodovina, deli, delovanje. Pridobljeno: lifeder.com