POVEŽITE NOTRANJE IN ZUNANJE KOTE: PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Na koti Konjugati so bile dodane z rezultati , da se 360, ne glede izmed omenjenih kotov sta sosednja ali ne. Na sliki 1 sta prikazana dva konjugirana kota, označena z α in β.

V tem primeru imata kota α in β na sliki skupno točko in njuni strani sta pogosti, zato sta sosednja. Razmerje med njimi je izraženo na naslednji način:

α + β = 360º

Slika 1. Dva konjugirana osrednja kota, vsota. Vir: Wikimedia Commons. Avtor ni na voljo za branje avtorja. Thiago R Ramos domneval (na podlagi trditev o avtorskih pravicah). Gre za razvrstitev kotov po njihovi vsoti. Druge pomembne opredelitve vključujejo komplementarne kote, katerih vsota je 90 °, in dopolnilne kote, ki skupaj znašajo 180 °.

Po drugi strani pa razmislimo o dveh vzporednih črtah, ki jih preseka sekant, katerega razpored je prikazan spodaj:

Slika 2. Vzporedne črte, ki jih sekajo sekant. Vir: F. Zapata.

Črti MN in PQ sta vzporedni, premica RS pa je sekantna, ki sekata na vzporednici v dveh točkah. Kot je razvidno, ta konfiguracija določa tvorbo 8 kotov, ki so bili označeni z malimi črkami.

No, v skladu z definicijo na začetku so koti a, b, c in d konjugirani. In na enak način so e, f, g in h, saj sta oba primera resnična:

a + b + c + d = 360 °

IN

e + f + g + h = 360 °

Pri tej konfiguraciji sta dva kota konjugirana, če sta na isti strani glede na sekantno črto RS in sta oba notranja ali zunanja. V prvem primeru govorimo o notranjih konjugacijskih kotih, v drugem pa o zunanjih konjugiranih kotih.

Primeri

Na sliki 2 so zunanji koti tisti, ki so zunaj območja, omejenega s črtami MN in PQ, so koti A, B, G in H. Medtem ko sta kota, ki ležita med dvema črtama, C, D, E in F.

Zdaj je treba analizirati, kateri koti so levo in kateri desno od sekanta.

Levo od RS so koti A, C, E in G. In na desni so koti B, D, F in H.

Takoj nadaljujemo z določitvijo konjugacijskih parov v skladu z definicijo iz prejšnjega oddelka:

-A in G, zunanje in levo od RS.

-D in F, notranje in desno od RS.

-B in H, zunanje in desno od RS.

-C in E, notranje in levo od RS.

Lastnost konjugiranih kotov med vzporednimi črtami

Konjugirani koti med vzporednimi črtami so dopolnilni, to je, da je njihova vsota enaka 180 °. Tako na sliki 2 velja naslednje:

A + G = 180 °

D + F = 180 °

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Pari ustreznih kotov za vzporedne črte

So tiste, ki so na isti strani sekantne črte, niso sosednje in ena od njih je notranja, druga pa zunanja. Pomembno je, da jih vizualiziramo, saj je njihova mera enaka, saj so v nasprotju z vrhom.

Če se vrnemo na sliko 2, ustrezni pari kotov označimo kot:

-A in E

-C in G

-B in F

-D in H

Notranji koti štirikotnika

Štirikotniki so na primer 4-stranski mnogokotniki, med njimi kvadrat, pravokotnik, trapez, paralelogram in romb. Ne glede na njihovo obliko je res, da je vsota njihovih notranjih kotov 360 °, zato ustrezajo definiciji, ki je bila dana na začetku.

Poglejmo nekaj primerov štirikotnikov in kako izračunati vrednost njihovih notranjih kotov glede na podatke v prejšnjih razdelkih:

Primeri

a) Tri od kotov štirikotnika merijo 75 °, 110 ° in 70 °. Koliko naj meri preostali kot?

b) Poiščite vrednost kota ∠Q na sliki 3 i.

c) Izračunajte merilo kota ∠A na sliki 3 ii.

Rešitev za

Naj bo α manjkajoči kot, je zadoščeno, da:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Rešitev b

Slika 3i prikazuje trapez in dva njegova notranja kota sta prav, ki sta na vogalih označena z barvnim kvadratom. Za ta štirikotnik je preverjeno naslednje:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Tako:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Rešitev c

Štirikotnik na sliki 3 ii je tudi trapez, za katerega velja naslednje:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Tako:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Za določitev želenega kota v stavku uporabimo, da je ∠A = 4x - 5. Če nadomestimo predhodno izračunano vrednost x, sledi, da je ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Vaje

- Vaja 1

Ker je eden od prikazanih kotov 125 °, poiščite mere sedmih kotov na naslednji sliki in utemeljite odgovore.

Slika 4. Črte in koti vaje 1. Vir: F. Zapata.

Rešitev

Kot 6 in kot 125º sta notranji konjugati, katerih vsota je 180 °, glede na lastnosti konjugiranih kotov:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Po drugi strani sta ∠6 in ∠8 vertikalni koti, katerih mera je enaka. Zato ∠8 meri 55 °.

Kot ∠1 je prav tako nasproten s točkom 125 °, potem lahko trdimo, da je ∠1 = 125 °. Prav tako se lahko pritožimo na dejstvo, da imajo ustrezni pari kotov isto mero. Na sliki so ti koti:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Vaja 2

Poiščite vrednost x na naslednji sliki in vrednosti vseh kotov:

Slika 5. Črte in koti za vajo 2. Vir: F. Zapata.

Rešitev

Ker gre za ustrezne pare, sledi, da je F = 73º. Po drugi strani pa je vsota konjugiranih parov 180 °, torej:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Končno je vrednost x:

x = 87/3 = 29

Glede vseh kotov so navedeni na naslednji sliki:

Slika 6. Koti, ki izhajajo iz vaje 2. Vir: F. Zapata.

Reference

1. Kotne skupine. Dopolnilni, dopolnilni in dopolnilni koti Pojasnilo. Pridobljeno: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Geometrija ravnin in vesolja in trigonometrija. Kulturna skupina Patria.
3. Corral, M. Matematika LibreTexts: Koti. Pridobljeno: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Razvrščanje in konstruiranje kotov z njihovo meritvijo. Pridobljeno: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Pridobljeno: gutenberg.org.
6. Wikipedija. Konjugirajo kote. Pridobljeno: es.wikipedia.org.