Vpisan kot kroga je tista, ki ima svojo tocko na krog in njegovi žarki so Sijekući ali se dotika z njo. Posledično bo vpisan kot vedno izbočen ali plosko.
Na sliki 1 je predstavljenih več kotov, vpisanih v njihove obod. Kot ∠EDF je vpisan z vrhom D na obodu in obema žarkoma =.
V enakomernem trikotniku so koti, ki mejijo na osnovo, enaki, zato je ∠BCO = ∠ABC = α. Po drugi strani je ∠COB = 180º - β.
Glede na vsoto notranjih kotov trikotnika COB imamo:
α + α + (180º - β) = 180º
Iz tega sledi, da je 2 α = β, ali kar je enakovredno: α = β / 2. To se strinja s tem, kar izrek 1 določa: mera vpisanega kota je polovica osrednjega kota, če oba kota podležeta isti akord.
Dokazovanje 1b
Slika 6. Pomožna konstrukcija kaže, da je α = β / 2. Vir: F. Zapata z Geogebra.
V tem primeru imamo vpisan kot ∠ABC, v katerem je središče O kroga znotraj kota.
Za dokazovanje teorema 1 v tem primeru narišite pomožni žarek) .push ({});
Podobno sta osrednja kota β 1 in β 2 poleg meja. Tako imamo enako stanje, kot kažejo 1a mogoče, da bi rekli, da α 2 = β 2 /2 in a 1 = β 1 /2. Kot α = α 1 + α 2 in β = β 1 + β 2 imajo zato, da α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / dva.
V zaključku α = β / 2, ki izpolnjuje izrek 1.
- Izrek 2
Slika 7. Vpisani koti enake mere α, ker podrejo isti lok A⌒C. Vir: F. Zapata z Geogebra.
- Izrek 3
Vpisani koti, ki podrežejo akorde iste mere, so enaki.
Slika 8. Vpisani koti, ki podrežejo akorde enake mere, imajo enako mero β. Vir: F. Zapata z Geogebra.
Primeri
- Primer 1
Pokažite, da je vpisani kot, ki premeri premer, pravi kot.
Rešitev
Osrednji kot OBAOB, povezan s premerom, je ravninski kot, katerega meri 180 °.
V skladu s teoremom 1 ima vsak kot, vpisan v obod, ki podre isto akord (v tem primeru premer), kot mero polovico osrednjega kota, ki podseda isto akord, ki je v našem primeru 180º / 2 = 90º.
Slika 9. Vsak vpisan kot, ki ustreza premeru, je pravi kot. Vir: F. Zapata z Geogebra.
- Primer 2
Črta (BC), tangenta na A do oboda C, določa vpisani kot ACBAC (glej sliko 10).
Preverite, ali je izrek 1 vpisanih kotov izpolnjen.
Slika 10. Vpisan kot BAC in njegov osrednji konveksni kot AOA. Vir: F. Zapata z Geogebra.
Rešitev
Kot ∠BAC je vpisan, ker je njegovo točko na obodu, njegovi strani [AB) in [AC) pa sta tangentni glede na obod, zato je definicija vpisanega kota izpolnjena.
Po drugi strani je vpisani kot ACBAC podan loku A⌒A, kar je celoten obod. Osrednji kot, ki podre lok A⌒A, je konveksni kot, katerega mera je polni kot (360 °).
Vpisan kot, ki podre celoten lok, meri polovico pripadajočega osrednjega kota, to je ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Z vsem zgoraj navedenim je preverjeno, ali ta konkretni primer izpolnjuje teorem 1.
Reference
- Baldor. (1973). Geometrija in trigonometrija. Srednjeameriška kulturna založba.
- EA (2003). Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
- Geometrija 1. ESO. Koti na obodu. Pridobljeno: edu.xunta.es/
- Vsa znanost. Predlagane vaje kotov v obodu. Pridobljeno: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedija. Vpisan kot. Pridobljeno: es.wikipedia.com