IMAGINARNE ŠTEVILKE: LASTNOSTI, APLIKACIJE, PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

V namišljene številke so tisti, rešiti enačbo, v kateri je neznano, povzdignjena na trgu enako negativno realno število. Namišljena enota je i = √ (-1).

V enačbi: z ² = - a, z je namišljeno število, ki je izraženo na naslednji način:

z = √ (-a) = i√ (a)

Biti pozitivna realna številka. Če je a = 1, potem je z = i, kjer je i namišljena enota.

Slika 1. Kompleksna ravnina, ki prikazuje nekaj resničnih števil, nekaj namišljenih števil in nekaj kompleksnih števil. Vir: F. Zapata.

Na splošno je čisto namišljeno število z vedno izraženo v obliki:

z = y⋅i

Kjer je y resnično število in sem namišljena enota.

Tako kot so realna števila predstavljena na premici, imenovani resnična črta, na podoben način so tudi zamišljena števila predstavljena na namišljeni liniji.

Zamišljena črta je vedno pravokotna (oblika 90 °) na realni črti in obe črti določata kartezijansko ravnino, imenovano kompleksna ravnina.

Na sliki 1 je prikazana kompleksna ravnina, na njej pa je predstavljenih nekaj resničnih števil, nekaj namišljenih števil in tudi nekaj kompleksnih števil:

X ₁ , X ₂ , X ₃ so realna števila

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ so namišljena števila

Z ₂ in Z ₃ sta kompleksna števila

Število O je dejanska nič in je tudi namišljena nič, zato je izvor O kompleksna nič, izražena z:

0 + 0i

Lastnosti

Nabor namišljenih številk označujemo z:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

V tem številčnem nizu lahko določite nekatere operacije. Namišljeno število ni vedno pridobljeno s temi operacijami, zato si jih oglejmo nekoliko podrobneje:

Dodajte in odštejte namišljeno

Domišljijska števila se lahko seštevajo in odštevajo drug od drugega, kar ima za posledico novo namišljeno število. Na primer:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Izdelek namišljenega

Ko se ustvari zmnožek ene namišljene številke z drugo, je rezultat resnično število. Naredimo naslednjo operacijo, da jo preverimo:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

In kot lahko vidimo, je -6 resnično število, čeprav smo ga dobili z množenjem dveh čistih namišljenih števil.

Izdelek resničnega števila drugega namišljenega

Če se resnično število pomnoži s i, bo rezultat namišljeno število, ki ustreza 90-stopinjskemu zasuku v nasprotni smeri urinega kazalca.

In to, da i ² ustreza dvema zaporednima rotacijama za 90 stopinj, kar je enako pomnožitvi z -1, to je i ² = -1. To je razvidno iz naslednjega diagrama:

Slika 2. Pomnožitev z namišljeno enoto i ustreza rotacijam 90 ° v nasprotni smeri urinega kazalca. Vir: wikimedia commons.

Na primer:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Opolnomočenje imaginarnega

Lahko določite potenciranje namišljenega števila za celoštevilčni eksponent:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Na splošno imamo, da je ⁿ = i ^ (n mod 4), kjer je mod preostanek delitve med n in 4.

Negativno celostno potenciranje je mogoče tudi:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Na splošno je namišljeno število b⋅i, dvignjeno na moč n, naslednje:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Nekaj ​​primerov je naslednje:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Vsota resničnega števila in namišljenega števila

Ko z namišljenim dodate resnično število, rezultat ni ne realen ne namišljen, temveč je nova vrsta številke, imenovana kompleksno število.

Na primer, če je X = 3,5 in Y = 3,75i, je rezultat kompleksno število:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Upoštevajte, da resničnega in namišljenega dela v seštevku ni mogoče združiti, tako da bosta kompleksni številki vedno resnični in namišljeni del.

Ta operacija širi nabor resničnih števil na najširše kompleksne številke.

Prijave

Ime namišljenih številk je francoski matematik René Descartes (1596-1650) kot posmeh ali nestrinjanje s predlogom istega predlagal italijanski matematik stoletja Raffaelle Bombelli.

Drugi veliki matematiki, kot sta Euler in Leibniz, sta podprla Descartesa v tem nesoglasju in namišljena števila imenovala amfibijske številke, ki so bile razpete med bivanjem in nič.

Ime namišljenih številk ostaja še danes, vendar sta njihov obstoj in pomen zelo resnična in občutljiva, saj se naravno pojavita na številnih področjih fizike, kot so:

-Teorija relativnosti.

-V elektromagnetizmu.

-Kvantna mehanika.

Vaje z namišljenimi številkami

- Vaja 1

Poiščite rešitve naslednje enačbe:

z ² + 16 = 0

Rešitev

z ² = -16

Ob obeh članih imamo kvadratni koren:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Z drugimi besedami, rešitve izvorne enačbe so:

z = + 4i oz = -4i.

- Vaja 2

Poiščite rezultat dviga namišljene enote na moč 5 minus odštevanje namišljene enote, dvignjene na moč -5.

Rešitev

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Vaja 3

Poiščite rezultat naslednje operacije:

(3i) ³ + 9i

Rešitev

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Vaja 4

Poiščite rešitve naslednje kvadratne enačbe:

(-2x) ² + 2 = 0

Rešitev

Enačba je razporejena na naslednji način:

(-2x) ² = -2

Nato vzamemo kvadratni koren obeh članov

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Nato rešimo za x, da končno dobimo:

x = ± √2 / 2 i

To sta dve možni rešitvi:

x = (√2 / 2) i

Ali pa to drugo:

x = - (√2 / 2) i

- Vaja 5

Poiščite vrednost Z, definirano z:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Rešitev

Vemo, da je kvadratni koren negativnega realnega števila namišljeno število, na primer √ (-9) je enako √ (9) x √ (-1) = 3i.

Po drugi strani je √ (-4) enak √ (4) x √ (-1) = 2i.

Izvirno enačbo lahko torej nadomestimo z:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Vaja 6

Poiščite vrednost Z, ki izhaja iz naslednje delitve dveh kompleksnih števil:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Rešitev

Števec izraza je mogoče upoštevati z naslednjo lastnostjo:

Torej:

Z = / (3 + i)

Spodaj je poenostavljen rezultat, kar zapusti

Z = (3 - i)

Reference

1. Earl, R. Kompleksne številke. Pridobljeno: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznoliko. Izdaje CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor matematičnih tem. Publikacije Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Wikipedija. Imaginarna številka. Pridobljeno: en.wikipedia.org