YOUNG-OV MODUL: RAČUN, APLIKACIJE, PRIMERI, VAJE - FIZIČNO - 2026

V Youngov modul in modul elastičnosti je konstanta, ki se nanaša natezno ali stiskanje z ustreznim povečanjem ali zmanjšanjem dolžine, ki ima predmet pod temi silami.

Zunanje sile, ki se uporabljajo na predmete, ne morejo samo spremeniti njihovega gibanja, ampak so tudi sposobne spremeniti obliko ali jih celo pretrgati ali zlomiti.

Slika 1. Mačji gibi so polni elastičnosti in miline. Vir: Pixabay.

Youngov modul se uporablja za proučevanje sprememb, ki nastanejo v materialu, kadar se zunanja sila natezne ali tlačne sile uporablja. Zelo je uporaben pri predmetih, kot sta inženirstvo ali arhitektura.

Model je svoje ime dolžan po britanskem znanstveniku Thomasu Youngu (1773-1829), ki je izvajal študije materialov, ki so predlagali meritev togosti različnih materialov.

Kakšen je Youngov model?

Young-ov model je merilo togosti. V materialih z nizko togostjo (rdeča) je večja deformacija pod podaljškom ali stiskanjem. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Koliko se lahko predmet deformira? To inženirji pogosto želijo vedeti. Odgovor bo odvisen od lastnosti materiala in dimenzij, ki jih ima.

Na primer, lahko primerjate dve palici iz aluminija z različnimi dimenzijami. Vsak ima različno površino preseka in dolžino in oba sta izpostavljena isti natezni sili.

Pričakovano vedenje bo naslednje:

- Večja kot je debelina (presek) palice, manj je raztezanje.

- Daljša kot je začetna dolžina, večji je končni raztežaj.

To je smiselno, ker navsezadnje izkušnje kažejo, da poskusiti deformiranje gumijastega traku ni isto kot poskusiti z jekleno palico.

Parameter, imenovan modul elastičnosti materiala, je pokazatelj njegovega elastičnega odziva.

Kako se izračuna?

Kot zdravnik je Young želel spoznati vlogo elastičnosti arterij pri dobrem opravljanju krvnega obtoka. Iz svojih izkušenj je sklenil naslednje empirično razmerje:

Grafično lahko predstavimo obnašanje materiala pod stresom, kot je prikazano na naslednji sliki.

Slika 2. Graf napetosti in obremenitve materiala. Vir: self made.

Od nastanka do točke A

V prvem odseku, ki sega od izhodišča do točke A, je graf ravna črta. Hookeov zakon velja tam:

F = kx

Kjer je F moč sile, ki material vrne v prvotno stanje, je x deformacija, ki jo doživlja, k pa konstanta, ki je odvisna od predmeta, ki je izpostavljen stresu.

Tu obravnavane deformacije so majhne, ​​obnašanje pa povsem elastično.

Od A do B

Od A do B se material tudi obnaša elastično, vendar razmerje med stresom in obremenitvijo ni več linearno.

Od B do C

Med točkama B in C se material trajno deformira in se ne more vrniti v prvotno stanje.

Iz C

Če se material še naprej razteza od točke C, se sčasoma zlomi.

Matematično lahko Youngove opazke povzamemo na naslednji način:

Stres ∝ Napetost

Kjer je konstanta sorazmernosti natančno modul elastičnosti materiala:

Stres = Modul elastičnosti x Deformacija

Obstaja veliko načinov za deformiranje materialov. Tri najpogostejše vrste stresa, ki jim je predmet izpostavljen, so:

- Napenjanje ali raztezanje

- Stiskanje.

- Rezanje ali striženje.

Poudariti je treba, da so materiali navadno izpostavljeni gradnjam, na primer v gradbeništvu ali avtomobilskih delih, vleka.

Formule

Če se predmet dolžine L raztegne ali napne, je podvržen oprijemu, ki povzroči nihanje njegove dolžine. Diagram tega stanja je predstavljen na sliki 3.

To zahteva, da se na enoto površine na njene konce uporabi sila velikosti F, da se povzroči raztezanje, tako da njegova nova dolžina postane L + DL.

Pri deformiranju predmeta se bo uporabila le ta sila na enoto površine, medtem ko ima napetost ΔL / L.

Slika 3. Predmet, ki je podvržen oprijemu ali raztezanju, ima podaljšek. Vir: self made.

Označevanje Youngovega modula kot Y in glede na zgoraj navedeno:

Odgovor je v dejstvu, da sev kaže na relativno obremenitev glede na prvotno dolžino. Ni isto, kot se 1 m razteza ali skrči za 1 cm, saj je konstrukcija dolga 100 metrov enako deformirana za 1 cm.

Za pravilno delovanje delov in konstrukcij obstaja toleranca glede dopustnih relativnih deformacij.

Enačba za izračun deformacije

Če se zgornja enačba analizira na naslednji način:

- Večja površina preseka je manjša deformacija.

- Večja kot je dolžina, večja je deformacija.

- Višji je Youngov modul, manjši je deformacija.

Enote napetosti ustrezajo newtonom / kvadratnemu metru (N / m ² ). So tudi enote pritiska, ki v mednarodnem sistemu nosijo ime Pascal. Napetost ΔL / L je na drugi strani brezdimenzijska, ker je količnik med dvema dolžinama.

Enote angleškega sistema so lb / in ² in se uporabljajo tudi zelo pogosto. Faktor pretvorbe za prehod iz enega v drugega je: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

To vodi, da imajo Youngov modul tudi enote pritiska. Končno lahko zgornjo enačbo izrazimo za rešitev za Y:

V znanosti o materialih je pomemben elastični odziv le-teh na različne napore, da izberejo najprimernejše za vsako uporabo, ne glede na to, ali gre za krilo letala ali avtomobilski ležaj. Karakteristike uporabljenega materiala so odločilne pri odzivu, ki se od njega pričakuje.

Za izbiro najboljšega materiala je treba poznati napetosti, ki jim bo določen kos izpostavljen; in posledično izberite material, ki ima lastnosti najbolj v skladu z zasnovo.

Na primer, krilo letala mora biti močno, lahko in lahko upogibati. Materiali, ki se uporabljajo pri gradnji stavb, se morajo v veliki meri upirati potresnim premikom, vendar morajo imeti tudi nekaj prožnosti.

Inženirji, ki oblikujejo krila zrakoplovov, pa tudi tisti, ki izberejo gradbene materiale, morajo uporabiti grafe obremenitve, kot je prikazano na sliki 2.

Meritve za določitev najpomembnejših elastičnih lastnosti materiala se lahko izvajajo v specializiranih laboratorijih. Tako obstajajo standardizirani preskusi, katerim so vzorci izpostavljeni, katerim se nalagajo različne napetosti, ki kasneje izmerijo nastale deformacije.

Primeri

Kot smo že omenili, Y ni odvisen od velikosti ali oblike predmeta, temveč od lastnosti materiala.

Še ena zelo pomembna točka: da je zgoraj navedena enačba uporabna, mora biti material izotropen, torej njegove lastnosti morajo ostati nespremenjene skozi ves čas.

Niso vsi materiali izotropni: obstajajo tisti, katerih elastični odziv je odvisen od določenih smernih parametrov.

Deformacija, ki smo jo analizirali v prejšnjih segmentih, je le ena izmed mnogih, ki jim lahko material podleže. Na primer, glede tlačnega tlaka je nasprotno od nateznih napetosti.

Navedene enačbe veljajo za oba primera, vrednosti Y pa so skoraj vedno enake (izotropni materiali).

Pomembna izjema je beton ali cement, ki se bolje upira kompresiji kot oprijem. Zato ga je treba okrepiti, kadar je potrebna odpornost proti raztezanju. Jeklo je material, ki je za to naveden, saj se zelo dobro upira raztezanju ali oprijemu.

Primeri struktur, ki so podvrženi stresu, vključujejo gradbene stebre in oboke, klasične gradbene elemente v mnogih starodavnih in modernih civilizacijah.

Slika 4. Pont Julien, rimska zgradba iz 3. stoletja pred našim štetjem v južni Franciji.

Rešene vaje

Vaja 1

2,0 m dolga jeklena žica v glasbilu ima polmer 0,03 mm. Če je kabel pod napetostjo 90 N: koliko se spremeni njegova dolžina? Podatki: Young-ov modul jekla je 200 x 10 ⁹ N / m ²

Rešitev

Potrebno je izračunati površino preseka A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x 10 ^-9 m ²

Stres je stres na enoto površine:

Ker je vrvica pod napetostjo, to pomeni, da se podaljša.

Nova dolžina je L = L _o + DL, kjer je L _o začetna dolžina:

L = 2,32 m

Vaja 2

Marmorni steber, katerega prečna površina je 2,0 m ^2, podpira maso 25 000 kg. Najti:

a) Napor v hrbtenici.

b) sev.

c) Koliko krajši je steber, če je njegova višina 12 m?

Rešitev

a) Napor v stolpcu je posledica teže 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Zato je trud:

b) Obremenitev je ΔL / L:

c) ΔL je sprememba dolžine, izražena z:

ΔL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Marmornat steber se ne pričakuje bistveno skrči. Upoštevajte, da čeprav je Youngov modul manjši v marmorju kot v jeklu in da steber podpira tudi veliko večjo silo, njegova dolžina skoraj ne spreminja.

Po drugi strani je v vrvi prejšnjega primera variacija veliko bolj opazna, čeprav ima jeklo veliko večji Youngov modul.

Njegova velika površina prečnega prereza posega v steber, zato je veliko manj deformabilna.

O Thomasu Youngu

Portret Thomasa Young iz leta 1822. Thomas Lawrence / Javna last

Modul elastičnosti je poimenovan po Thomasu Youngu (1773-1829), vsestranskemu britanskemu znanstveniku, ki je veliko prispeval k znanosti na številnih področjih.

Kot fizik Young ni le raziskoval valovne narave svetlobe, ki jo je razkril znani eksperiment z dvojnimi režami, ampak je bil tudi zdravnik, jezikoslovec in je celo pomagal razvozlati nekaj egiptovskih hieroglifov na znamenitem kamnu Rosetta.

Bil je član Kraljevega društva, Kraljevske švedske akademije znanosti, Ameriške akademije znanosti in umetnosti ali Francoske akademije znanosti, med drugimi plemenitimi znanstvenimi ustanovami.

Vendar pa je treba opozoriti, da je koncept modela že prej razvil Leonhar Euler (1707-1873) in da so znanstveniki, kot je Giordano Riccati (1709-1790), že izvedli poskus, ki bi Youngov model uresničil. .

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženirstvo in znanosti. Zvezek 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela uporabe. Šesta izdaja. Dvorana Prentice. 238–249.