ZAKONI EKSPONENTOV (S PRIMERI IN REŠENIMI VAJAMI) - MATEMATIKA - 2026

V zakoni eksponenti so tisti, ki se nanašajo na to številko, ki označuje, kolikokrat je treba bazično število pomnoži s sebi. Eksponenti so znani tudi kot moči. Opolnomočenje je matematična operacija, ki jo tvorijo baza (a), eksponent (m) in moč (b), kar je rezultat operacije.

Ponavadi se uporabljajo eksponenti, kadar se uporabljajo zelo velike količine, saj to niso nič drugega kot okrajšave, ki predstavljajo množenje istega števila določeno število krat. Izpostavljeni so lahko tako pozitivni kot negativni.

Pojasnilo zakonov eksponentov

Kot smo že omenili, so eksponenti kratkoročni obrazec, ki predstavlja množenje števil sam po sebi večkrat, pri čemer se eksponent nanaša le na številko na levi strani. Na primer:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

V tem primeru je številka 2 osnova moči, ki se pomnoži 3-krat, kot kaže eksponent, ki se nahaja v zgornjem desnem kotu baze. Izraza lahko preberete na različne načine: 2 dvignjena na 3 ali 2 dvignjena na kocko.

Eksponenti navajajo tudi, kolikokrat jih lahko ločimo, in da razlikujemo to operacijo od množenja, ima eksponent pred seboj znak minus (-) (negativno je), kar pomeni, da je eksponent v imenovalcu a ulomek. Na primer:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Tega ne smemo zamenjevati s primerom, ko je osnova negativna, saj bo odvisno od tega, ali je eksponent lih ali celo določiti, ali bo moč pozitivna ali negativna. Torej morate:

- Če je eksponent enakomeren, bo moč pozitivna. Na primer:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Če je eksponent lih, bo moč negativna. Na primer:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Obstaja poseben primer, v katerem je, če je eksponent enak 0, moč enaka 1. Obstaja tudi možnost, da je osnova 0; v tem primeru bo moč, ki je odvisna od eksponenta, nedoločena ali ne.

Za izvajanje matematičnih operacij s eksponenti je treba upoštevati več pravil ali norm, ki olajšajo iskanje teh operacij.

Prvi zakon: moč eksponenta enaka 1

Če je eksponent 1, bo rezultat enaka vrednosti osnove: a ¹ = a.

Primeri

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Drugi zakon: moč eksponenta enaka 0

Če je eksponent 0, če je osnova ničelna, bo rezultat: a ⁰ = 1.

Primeri

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Tretji zakon: negativni eksponent

Ker je eksponte negativen, bo rezultat ulomek, kjer bo moč imenovalec. Na primer, če je m pozitiven, potem je a ^-m = 1 / a ^m .

Primeri

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Četrti zakon: množenje moči z enako osnovo

Če pomnožimo moči, kjer so osnove enake in različne od 0, ostane osnovo in se dodajo eksponenti: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Primeri

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Peti zakon: delitev oblasti z enako osnovo

Če želite razdeliti moči, pri katerih so osnove enake in različne od 0, se ohrani osnova in odštejemo eksponente na naslednji način: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Primeri

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ^15. 6. ^oktober = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^december / 49 ⁶ = 49 ^(12–6) = 49 ⁶ .

Šesti zakon: množenje moči z različnimi osnovami

Ta zakon ima nasprotno od tistega, kar je izraženo v četrtem; to pomeni, da če imate različne osnove, vendar z enakimi eksponenti, se baze pomnožijo in ohrani eksponent: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Primeri

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Drug način, kako predstaviti ta zakon, je, ko se množenje dvigne na moč. Tako bo eksponent pripadal vsakemu od izrazov: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Primeri

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Sedmi zakon: delitev oblasti z različno podlago

Če imate različne osnove, vendar z enakimi eksponenti, razdelite osnove in ohranite eksponent: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Primeri

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Podobno, ko se delitev dvigne na moč, bo eksponent pripadal vsakemu od izrazov: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Primeri

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Obstaja primer, ko je eksponent negativen. Potem je vrednost števca za pozitivno vrednost obrnjena kot vrednost imenovalca:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Osmi zakon: moč moči

Ko imate moč, ki je dvignjena na drugo moč - to sta dva eksponenta hkrati -, se osnova ohrani in eksponenti se pomnožijo: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Primeri

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Deveti zakon: delni eksponent

Če ima moč del kot eksponent, to rešimo tako, da jo spremenimo v n-ti koren, kjer števec ostane kot eksponent in imenovalec predstavlja indeks korena:

Primer

Rešene vaje

Vaja 1

Izračunajte operacije med močmi, ki imajo različne osnove:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Rešitev

Z uporabo pravil eksponentov se baze v množitelju pomnožijo in eksponent se vzdržuje takole:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Ker imamo enake podlage, vendar z različnimi eksponenti, se osnova ohrani in odštejemo:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Vaja 2

Izračunajte operacije med močmi, povečanimi na drugo moč:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Rešitev

Z uporabo zakonov morate:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Reference

1. Aponte, G. (1998). Osnove osnovne matematike. Pearsonova vzgoja.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika, ki se uporablja v vsakdanjem življenju.
3. Jiménez, JR (2009). Matematika 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra in trigonometrija.
5. Rees, PK (1986). Povrni.