MATEMATIČNA LOGIKA: IZVOR, KAJ ŠTUDIRA, VRSTE - MATEMATIKA - 2026

Matematična logika ali simbolna logika je matematični jezik, ki se nanaša na orodja, s pomočjo katerih je mogoče potrditi ali zanikati matematično sklepanje.

Znano je, da pri matematiki ni nejasnosti. Glede na matematični argument je veljaven ali pa preprosto ni. Hkrati ne more biti napačna in resnična.

Poseben vidik matematike je, da ima formalni in strog jezik, s katerim je mogoče določiti veljavnost argumenta. Kaj je tisto, zaradi česar je določen sklep ali kakršen koli matematični dokaz neizpodbiten? V tem je matematična logika.

Tako je logika matematična disciplina, ki je odgovorna za preučevanje matematičnih sklepov in dokazov ter zagotavlja orodja, s katerimi lahko sklepamo o pravilnem sklepu iz prejšnjih trditev ali predlogov.

Za to se uporabljajo aksiomi in drugi matematični vidiki, ki jih bomo razvili kasneje.

Poreklo in zgodovina

Natančni datumi glede številnih vidikov matematične logike so negotovi. Vendar večina bibliografij o tej temi izvira iz antične Grčije.

Aristotel

Začetek stroge obravnave logike je deloma pripisan Aristotelu, ki je do srednjega veka napisal sklop logičnih del, ki so jih kasneje sestavljali in razvijali različni filozofi in znanstveniki. To bi lahko šteli za "staro logiko".

Kasneje, v Leibnizu sodobne dobe, ga je globoka želja, da bi vzpostavila univerzalni jezik, matematično premišljevala, in drugi matematiki, kot sta Gottlob Frege in Giuseppe Peano, pomembno vplivali na razvoj matematične logike z velikimi prispevki , med njimi tudi Peano Aksiomi, ki oblikujejo nepogrešljive lastnosti naravnih števil.

Tudi matematika George Boole in Georg Cantor sta bila v tem času zelo pomembna, saj sta prispevala pomembne prispevke v tabelah množičnih teorij in resnic, pri čemer sta med drugim izpostavila Booleovo algebro (avtor George Boole) in Axiom of Choice (avtor George Cantor).

Obstajata tudi Augustus De Morgan z dobro znanimi Morganovimi zakoni, ki razmišljajo o negacijah, konjunkcijah, disjunkcijah in pogojih med predlogi, ključih za razvoj simbolične logike, in Jhon Venn z znamenitimi Vennovimi diagrami.

V 20. stoletju, približno med letoma 1910 in 1913, Bertrand Russell in Alfred North Whitehead izstopata s svojo objavo Principia matematike, nabora knjig, ki zbira, razvija in postulira vrsto aksiomov in rezultatov logike.

Kaj preučuje matematična logika?

Predlogi

Matematična logika se začne s preučevanjem propozicij. Predlog je izjava, ki jo lahko brez dvoumnosti povemo, če je resnična ali ne. Sledijo primeri predlogov:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• Leta 1930 se je v Evropi zgodil potres.

Prva je resnična izjava, druga pa napačna. Tretjič, čeprav oseba, ki jo bere, ne ve, ali je resnična ali takoj, je izjava, ki jo lahko preizkusi in ugotovi, ali se je res zgodila ali ne.

Sledijo primeri izrazov, ki niso propozicije:

• Blondinka je.
• 2x = 6.
• Igrajmo!
• Ali imaš rad filme

V prvem predlogu ni določeno, kdo je "ona", zato ni mogoče ničesar pritrditi. V drugem predlogu, kaj "x" predstavlja, ni bilo določeno. Če bi namesto tega rekli, da je 2x = 6 za neko naravno število x, bi v tem primeru ustrezalo predlogu, ki je v resnici res, saj je za x = 3 izpolnjeno.

Zadnji dve izjavi ne ustrezata predlogu, saj jih ni mogoče zanikati ali pritrditi.

Dve ali več predlogov je mogoče kombinirati (ali povezati) z uporabo znanih logičnih povezav (ali priključkov). To so:

• Zanikanje: "Ne dežuje."
• Disjunkcija: "Luisa je kupila belo ali sivo vrečko."
• Povezava: "4 ² = 16 in 2 × 5 = 10".
• Pogojno: "Če bo deževalo, potem danes popoldne ne grem v telovadnico."
• Bikondicionalno: "Popoldne grem v telovadnico, in samo, če ne dežuje."

Predlog, ki nima nobene od prejšnjih veziv, se imenuje preprost (ali atomski) predlog. Na primer, "2 je manj kot 4" je preprost predlog. Predlogi, ki imajo nekaj povezave, se imenujejo sestavljene propozicije, na primer "1 + 3 = 4 in 4 je sodo število."

Izjave, ki jih dajejo predlogi, so ponavadi dolge, zato je dolgočasno vedno pisati tako, kot je bilo videti doslej. Zaradi tega se uporablja simbolni jezik. Predlogi so ponavadi predstavljeni z velikimi črkami, kot so P, Q, R, S itd. In simbolične vezi, kot sledi:

Torej to

Obratno pogojnega stavka

je predlog

In nasprotna vzajemnost (ali kontrapozitiv) predloga

je predlog

Tabele resnice

Drug pomemben koncept logike je tabel resnic. Vrednosti resnice predloga sta dve možnosti predloga: resnična (ki jo bo označil z V in bo rečeno, da je njena resnična vrednost V) ali napačna (kar bo označeno s F in bo rečeno, da je njena vrednost res je F).

Vrednost resnice sestavljenega predloga je odvisna izključno od vrednosti resnice preprostih predlogov, ki se pojavljajo v njem.

Da bi delovali na bolj splošen način, ne bomo upoštevali konkretnih propozicij, temveč predloge spremenljivk p, q, r, s itd., Ki bodo predstavljale kakršne koli propozicije.

S temi spremenljivkami in logičnimi vezmi se oblikujejo znane propozicijske formule, tako kot se gradijo sestavljene propozicije.

Če se vsaka od spremenljivk, ki se pojavijo v formuli predloga, nadomesti s predlogom, dobimo sestavljeni predlog.

Spodaj so tabele resnice za logične vezi:

Obstajajo predloge formul, ki v svojo tabelo resnice prejmejo samo vrednost V, to pomeni, da ima zadnji stolpec njihove tabele resnice vrednost V. Te vrste formul poznamo kot tavtologije. Na primer:

Sledi tabela resnice formule

Rečeno je, da formula α logično pomeni drugo formulo β, če je α resnična vsakič, ko je β resničen. Se pravi, v tabeli resnice α in β, vrstici, kjer ima α V, β ima tudi V. Zanimajo nas le vrstice, v katerih ima α vrednost V. Poimenovanje za logični pomen je naslednje :

Naslednja tabela povzema lastnosti logičnih implikacij:

Dve formuli predloga naj bi bili logično enakovredni, če sta njuni tabeli resnic enaki. Naslednji zapis se uporablja za izražanje logične enakovrednosti:

Naslednje tabele povzemajo lastnosti logične enakovrednosti:

Vrste matematične logike

Obstajajo različne vrste logike, zlasti če med drugimi področji upoštevamo pragmatično ali neformalno logiko, ki kaže na filozofijo.

Kar zadeva matematiko, bi lahko vrste logike povzeli kot:

• Formalna ali aristotelovska logika (starodavna logika).
• Propozicijska logika: odgovorna je za preučevanje vsega, kar je povezano z veljavnostjo argumentov in predlogov z uporabo formalnega in simboličnega jezika.
• Simbolična logika: osredotočena na preučevanje sklopov in njihovih lastnosti, tudi s formalnim in simbolnim jezikom, in je globoko povezana s propozicijsko logiko.
• Kombinatorska logika: ena izmed zadnjih razvitih, vključuje rezultate, ki jih je mogoče razviti z algoritmi.
• Logično programiranje: uporablja se v različnih paketih in programskih jezikih.

Območja

Med področji, ki matematično logiko nepogrešljivo uporabljajo pri razvoju svojih sklepov in argumentov, izstopajo filozofija, teorija množic, teorija števil, algebrska konstruktivna matematika in programski jeziki.

Reference

1. Aylwin, CU (2011). Logika, nabori in številke. Mérida - Venezuela: Svet za publikacije, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod v teorijo števil. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj števil. Severna univerza.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematično logično sklepanje. Univerzitetna založba.
5. Zaragoza, AC (sf). Teorija števil Uredniška vizija Libros.