HEPTADEKAGON: LASTNOSTI, DIAGONALE, OBOD, POVRŠINA - MATEMATIKA - 2026

Sedemnajstkotnik je redno poligon s 17 strani in 17 tock. Njegova konstrukcija se lahko izvede v evklidskem slogu, torej z uporabo le ravnila in kompasa. Postopek za njegovo gradnjo je leta 1796 našel veliki matematični genij Carl Friedrich Gauss (1777-1855), star komaj 18 let.

Očitno je bil Gauss vedno zelo naklonjen tej geometrijski figuri, do te mere, da se je od dneva, ko je odkril njeno konstrukcijo, odločil za matematika. Govori se tudi, da je želel, da se na njegov nagrobnik vtisne heptadekagon.

Slika 1. Heptadekagon je pravilen poligon s 17 stranicami in 17 vrhovi. Vir: F. Zapata.

Gauss je našel tudi formulo, s katero je določil, kateri pravilni poligoni imajo možnost konstrukcije z ravnilom in kompasom, saj nekateri nimajo natančne evklidske konstrukcije.

Značilnosti heptadekagona

Kar zadeva njegove značilnosti, je kot vsak poligon pomembna vsota njegovih notranjih kotov. V navadnem mnogokotniku z n stranmi je vsota dana z:

Ta vsota, izražena v radianih, izgleda tako:

Iz zgornjih formul je mogoče enostavno sklepati, da ima vsak notranji kot heptadekagona natančno merilo α, ki ga poda:

Iz tega sledi, da je notranji kot približno:

Diagonale in obod

Diagonale in obod so drugi pomembni vidiki. V katerem koli poligonu je število diagonal:

D = n (n - 3) / 2 in v primeru heptadekagona kot n = 17 imamo potem to diagonalo D = 119.

Če je znana dolžina vsake strani heptadekagona, obod navadnega heptadekagona najdemo preprosto tako, da dodamo 17-krat večjo dolžino ali kar je enako 17-kratni dolžini d vsake strani:

P = 17 d

Obod heptadekagona

Včasih je znan le polmer r heptadekagona, zato je treba za ta primer razviti formulo.

V ta namen je uveden koncept apoteme. Apotema je odsek, ki sega od središča pravilnega mnogokotnika do sredine ene strani. Apotema glede na eno stran je pravokotna na to stran (glej sliko 2).

Slika 2. Prikazani so deli pravilnega mnogokotnika s polmerom r in njegov apotem. (Lastna izdelava)

Poleg tega je apotema bisektor kota z osrednjim vrhom in stranicami na dveh zaporednih vrhovih poligona, kar nam omogoča, da najdemo razmerje med polmerom r in stranjo d.

Če se osrednji kot DOE imenuje β in če upoštevamo, da je apotem OJ bisektor, imamo EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), od koder imamo razmerje, da najdemo dolžino d strani mnogokotnika znan je polmer r in njegov osrednji kot β:

d = 2 r Sen (β / 2)

V primeru heptadekagona β = 360º / 17 imamo:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Na koncu dobimo formulo za obod heptadekagona, znan je njegov polmer:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Obod heptadekagona je blizu oboda oboda, ki ga obdaja, vendar je njegova vrednost manjša, torej je obod opisanega kroga Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Območje

Za določitev območja heptadekagona bomo pogledali sliko 2, ki prikazuje stranice in apoteme pravilnega mnogokotnika z n stranicami. Na tej sliki ima trikotnik EOD površino, ki je enaka podnožju d (stran mnogokotnika), višjemu od a (apotema poligona), deljeno z 2:

EOD območje = (dxa) / 2

Torej, poznamo apotem a a heptadekagona in stran d istega, je njegovo območje:

Območje heptadekagona = (17/2) (dxa)

Območje s strani

Da dobimo formulo za območje heptadekagona, ki pozna dolžino njegovih sedemnajstih strani, je treba pridobiti razmerje med dolžino apotema a in stranjo d.

Glede na sliko 2 dobimo naslednji trigonometrični odnos:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kjer je β osrednji kot DOE. Torej lahko apotem a izračunamo, če sta dolžina d strani poligona in osrednji kot β znani:

a = (d / 2) kotan (β / 2)

Če je ta izraz zdaj nadomeščen z apotemom, imamo v formuli za območje heptadekagona, pridobljenega v prejšnjem razdelku:

Območje heptadekagona = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

B = 360º / 17 za heptadekagon, zato imamo končno želeno formulo:

Območje heptadekagona = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Območje glede na polmer

V prejšnjih razdelkih smo našli razmerje med stranjo d pravilnega poligona in njegovim polmerom r, pri čemer je ta odnos naslednji:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ta izraz za d je vstavljen v izraz, pridobljen v prejšnjem razdelku za območje. Če smo izvedli ustrezne nadomestitve in poenostavitve, dobimo formulo, ki omogoča izračun površine heptadekagona:

Območje heptadekagona = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Približni izraz za to območje je:

Območje heptadekagona = 3.0706 (r ² )

Kot je bilo pričakovano, je to območje nekoliko manjše od območja kroga, ki obdaja heptadekagon A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Če sem natančen, je 2% manjši od njegovega opisanega kroga.

Primeri

Primer 1

Če želite odgovoriti na vprašanje, si morate zapomniti razmerje med stranjo in polmerom pravilnega n-stranskega poligona:

d = 2 r Sen (180 ° / n)

Za heptadekagon n = 17 je torej d = 0,3675 r, to je polmer heptadekagona r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm oz.

Premera 10,8844 cm.

Obod 2-cm stranskega heptadekagona je P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Primer 2

Upoštevati moramo formulo, prikazano v prejšnjem razdelku, ki nam omogoča, da najdemo območje heptadekagona, če ima dolžino d svoje strani:

Območje heptadekagona = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Z zamenjavo d = 2 cm v prejšnji formuli dobimo:

Površina = 90,94 cm

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Uredništvo Patria.
3. Freed, K. (2007). Odkrijte poligone. Benchmark izobraževalno podjetje.
4. Hendrik, V. (2013). Splošni poligoni. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika prvi semester Tacaná. IGER.
6. Jr. Geometrija (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren in Hornsby. (2006). Matematika: Obrazložitev in aplikacije (deseta izdaja). Pearsonova vzgoja.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Uredniški progreso.
9. Sada, M. 17-stranski pravilen poligon z ravnilom in kompasom. Pridobljeno: geogebra.org
10. Wikipedija. Heptadekagon. Pridobljeno: es.wikipedia.com