EVKLIDSKA GEOMETRIJA: ZGODOVINA, OSNOVNI POJMI IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

V evklidsko geometrijo ustreza preučevanje lastnosti geometrijskih prostorih, kjer so zadovoljni aksiomi Euclid je. Čeprav se ta izraz včasih uporablja za pokrivanje geometrij, ki imajo večje dimenzije s podobnimi lastnostmi, je na splošno sinonim za klasično geometrijo ali geometrijo ravnine.

V III stoletju a. C. Euklid in njegovi učenci so napisali Elemente, delo, ki je obsegalo matematično znanje časa, obdarjeno z logično-deduktivno strukturo. Od takrat je geometrija postala znanost, sprva za reševanje klasičnih problemov in se je razvila kot oblikovalna znanost, ki pomaga razumu.

Zgodovina

Če želite govoriti o zgodovini evklidske geometrije, je nujno, da začnete z Euklidom iz Aleksandrije in Elementi.

Ko je Egipt ostal v rokah Ptolomeja I, je po smrti Aleksandra Velikega začel svoj projekt v šoli v Aleksandriji.

Med modreci, ki so poučevali v šoli, je bil tudi Euklid. Ugiba se, da njegovo rojstvo izvira približno iz leta 325 pr. C. in njegovo smrt 265 a. C. Z gotovostjo lahko vemo, da je hodil v Platonovo šolo.

Euclid je več kot trideset let poučeval v Aleksandriji, pri čemer je gradil svoje znamenite elemente: začel je pisati izčrpen opis matematike svojega časa. Euklidski nauki so ustvarili odlične učence, kot sta Arhimed in Apolonij iz Perge.

Euklid je bil zadolžen za strukturiranje različnih odkritij starih Grkov v elementih, vendar se za razliko od svojih predhodnikov ne omejuje s potrditvijo, da je neki teorem resničen; Euclid ponuja predstavitev.

Elementi je zbirka trinajstih knjig. Po Bibliji gre za najbolj objavljeno knjigo z več kot tisoč izdajami.

Euklidovi elementi

Elementi so Euclidova mojstrovina na področju geometrije in ponuja dokončno obravnavo geometrije dveh dimenzij (ravnina) in treh dimenzij (prostor), ki je izvor tega, kar danes poznamo kot evklidska geometrija .

Osnovni pojmi

Elemente sestavljajo definicije, skupni pojmi in postulati (ali aksiomi), ki jim sledijo teoremi, konstrukcije in dokazi.

- Bistvo je tisto, ki nima delov.

- Črta je dolžina, ki nima širine.

- Ravna črta je enaka glede na točke, ki so v njej.

- Če sta dve črti razrezani tako, da sta sosednja kota enaka, se koti imenujejo ravne črte in črte imenujemo pravokotne.

- Vzporedne črte so tiste, ki se v isti ravnini nikoli ne sekajo.

Po teh in drugih definicijah nam Euclid predstavi seznam petih postulatov in petih pojmov.

Pogosti pojmi

- Dve stvari, ki sta enaki tretjini, sta enaki med seboj.

- Če se istim stvarem dodajo iste, so rezultati enaki.

- Če od enakih stvari odštejemo enake stvari, so rezultati enaki.

- Stvari, ki se med seboj ujemajo, so enake med seboj.

- Skupni znesek je večji od dela.

Postulati ali aksiomi

- Ena in samo ena črta gre skozi dve različni točki.

- Ravne črte se lahko podaljšajo v nedogled.

- Lahko narišete krog s katerim koli središčem in poljubnim polmerom.

- Vsi pravi koti so enaki.

- Če ena premica prečka dve ravni črti, tako da se notranji koti iste strani sekata na manj kot dva desna kota, potem bosta obe črti križali na tej strani.

Ta zadnji postulat je znan kot vzporedni postulat in je bil preoblikovan na naslednji način: "Za točko zunaj črte je mogoče narisati eno samo vzporednico z dano črto."

Primeri

Nato bodo nekateri izreki elementov prikazali lastnosti geometrijskih prostorov, kjer je izpolnjenih pet postulatov Euklida; Poleg tega bodo ponazorili logično-deduktivno sklepanje, ki ga uporablja ta matematik.

Prvi primer

Predlog 1.4. (LAL)

Če imata dva trikotnika dve strani in je kot med njimi enak, potem sta drugi strani in drugi koti enaki.

Demonstracija

Naj bosta ABC in A'B'C dva trikotnika z AB = A'B ', AC = A'C', kota BAC in B'A'C 'pa sta enaka. Premikamo trikotnik A'B'C ', tako da A'B' sovpada z AB in ta kot B'A'C 'sovpada s kotom BAC.

Torej premica A'C 'sovpada s črto AC, tako da C' sovpada s C. Potem mora po postulatu 1 vrstica BC sovpadati s črto B'C '. Zato se dva trikotnika ujemata, posledično sta njihova kota in stranice enaka.

Drugi primer

Predlog 1.5. (

Recimo, da ima trikotnik ABC enake strani AB in AC.

Torej imata trikotnika ABD in ACD dve enaki strani, kota med njima pa sta enaka. Tako sta v predlogu 1.4 kota ABD in ACD enaka.

Tretji primer

Predlog 1.31

Vrstico lahko zgradite vzporedno s črto, ki jo poda določena točka.

Gradnja

Glede na črto L in točko P je narisana črta M, ki poteka skozi P in seka L. Nato se črta črta N skozi P, ki seka L. Zdaj je črka N potegnjena skozi P, ki seka M, tvori kot, enak tistemu, ki ga L tvori z M.

Potrdilo

N je vzporeden z L.

Demonstracija

Predpostavimo, da L in N nista vzporedni in se sekata v točki A. Naj bo B točka L izven A. Upoštevajmo premico O, ki poteka skozi B in P. Nato O preseka M pod kotom, ki sešteje manj kot dve naravnost.

Nato mora 1,5 črta O presekati črto L na drugi strani M, tako da se L in O sekata na dveh točkah, kar je v nasprotju s postulato 1. Zato morata biti L in N vzporedni.

Reference

1. Evklid. Elementi geometrije. Nacionalna avtonomna univerza v Mehiki
2. Euklid. Prvih šest knjig ter enajsta in dvanajsta Evklidova elementa
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktika in zgodovina evklidske geometrije, Grupo Uvodnik Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Zgodovina matematike. Mir uredništvo
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Uredništvo Venezolana CA