ANALITIČNA GEOMETRIJA: KAJ ŠTUDIRA, ZGODOVINA, APLIKACIJE - MATEMATIKA - 2026

V analitične geometrije študije črte in geometrijske oblike z uporabo osnovnih algebra tehnik in matematične analize v določenem koordinatnem sistemu.

Posledično je analitična geometrija veja matematike, ki podrobno analizira vse podatke geometrijskih figur, torej prostornino, kote, območje, točke presečišča, njihove razdalje med drugim.

Temeljna značilnost analitične geometrije je ta, da omogoča prikaz geometrijskih figur skozi formule.

Na primer, obodi so predstavljeni s polinomnimi enačbami druge stopnje, črte pa s polinomnimi enačbami prve stopnje.

Analitična geometrija se pojavi v sedemnajstem stoletju zaradi potrebe po iskanju odgovorov na probleme, ki do zdaj niso imeli rešitve. Njena glavna predstavnika sta bila René Descartes in Pierre de Fermat.

Danes ga mnogi avtorji opozarjajo na revolucionarno stvaritev v zgodovini matematike, saj predstavlja začetek moderne matematike.

Zgodovina analitične geometrije

Izraz analitična geometrija se je v Franciji pojavil v sedemnajstem stoletju zaradi potrebe po iskanju odgovorov na težave, ki jih algebra in geometrija ne bi mogli rešiti izolirano, rešitev pa je bila v kombinirani uporabi obeh.

Glavni predstavniki analitične geometrije

V sedemnajstem stoletju sta dva Francoza po naključju v življenju opravila raziskave, ki so se tako ali drugače končale v ustvarjanju analitične geometrije. Ti ljudje so bili Pierre de Fermat in René Descartes.

Trenutno velja, da je bil ustvarjalec analitične geometrije René Descartes. To je posledica dejstva, da je svojo knjigo izdal pred Fermatom in tudi poglobljeno z Descartesom na temo analitične geometrije.

Vendar sta Fermat in Descartes odkrila, da se lahko črte in geometrijske figure izrazijo z enačbami, enačbe pa so lahko izražene kot črte ali geometrijske figure.

Glede na odkritja, ki sta jih naredila oba, lahko rečemo, da sta oba ustvarjalca analitične geometrije.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat je bil francoski matematik, ki se je rodil leta 1601 in umrl leta 1665. V času svojega življenja je študiral geometrijo Euklida, Apolonija in Papusa, da bi rešil težave z merjenjem, ki so obstajale v tistem času.

Kasneje so te študije sprožile ustvarjanje geometrije. Na koncu so bili izraženi v njegovi knjigi "Uvod v ravna in trdna mesta" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), ki je izšla 14 let po njegovi smrti leta 1679.

Pierre de Fermat je leta 1623 na Apollonijeve teoreme uporabil analitično geometrijo na geometrijskih krajih. Bil je tudi prvi, ki je uporabil analitično geometrijo v tridimenzionalnem prostoru.

Rene Descartes

Znan tudi kot Cartesius, bil je matematik, fizik in filozof, ki se je rodil 31. marca 1596 v Franciji in umrl leta 1650.

René Descartes je leta 1637 objavil svojo knjigo "Diskurs o načinu pravilnega vedenja in iskanju resnice v znanostih", bolj znanem kot "Metoda", od tod pa je v svet predstavil izraz analitična geometrija. Eden izmed njegovih prilog je bil "Geometrija."

Temeljni elementi analitične geometrije

Analitična geometrija je sestavljena iz naslednjih elementov:

Kartezijev koordinatni sistem

Ta sistem je poimenovan po Renéju Descartesu.

Ni ga imenoval niti tisti, ki je dokončal kartezijanski koordinatni sistem, ampak je bil tisti, ki je govoril o koordinatah s pozitivnimi številkami, kar je omogočilo, da ga bodoči učenjaki dokončajo.

Ta sistem je sestavljen iz pravokotnega koordinatnega sistema in polarnega koordinatnega sistema.

Pravokotni koordinatni sistemi

Pravokotne koordinatne sisteme imenujemo ravnina, ki nastane s sledenjem dveh številskih črt, ki sta pravokotni drug na drugega, kjer točka preseka sovpada s skupno ničlo.

Potem bi ta sistem sestavljali vodoravna in navpična.

Vodoravna črta je os X ali abscisa. Navpična črta bi bila osi Y ali ordinatna os.

Polarni koordinatni sistem

Ta sistem je zadolžen za preverjanje relativnega položaja točke glede na fiksno črto in na fiksno točko na premici.

Kartezijeva enačba premice

To enačbo dobimo iz premice, ko sta znani dve točki, skozi katere gre.

Ravna črta

Je tista, ki ne odstopa in zato nima ne krivulj ne kotov.

Konice

So krivulje, definirane s črtami, ki gredo skozi fiksno točko, in točkami krivulje.

Elipsa, obseg, parabola in hiperbola so stožčaste krivulje. Vsak od njih je opisan spodaj.

Obod

Obod se imenuje zaprta ravnina krivulje, ki jo tvorijo vse točke ravnine, ki so enako oddaljene od notranje točke, torej od središča oboda.

Primerljiv

Ležišče točk v ravnini je enako oddaljeno od fiksne točke (žarišča) in fiksne črte (direktrix). Torej sta direktrix in fokus tisto, kar določata parabolo.

Parabolo lahko dobimo kot odsek stožčaste vrtilne površine skozi ravnino, vzporedno z generatriko.

Elipsa

Elipsa je zaprta krivulja, ki opisuje točko, ki se giblje v ravnini tako, da je vsota njegovih razdalj do dveh (2) fiksnih točk (imenovanih žarišč) konstantna.

Hiperbola

Hiperbola se imenuje krivulja, definirana kot lokus točk v ravnini, pri katerih je razlika med razdaljama dveh fiksnih točk (žarišč) konstantna.

Hiperbola ima os simetrije, ki prehaja skozi žarišča, imenovana žariščna os. Ima pa še eno, to je bisektor odseka, ki ima na svojih koncih fiksne točke.

Prijave

Na različnih področjih vsakodnevnega življenja obstaja veliko aplikacij analitične geometrije. Na primer, parabolo, enega temeljnih elementov analitične geometrije, lahko najdemo v številnih orodjih, ki jih uporabljamo danes. Nekatera od teh orodij so naslednja:

Satelitski krožnik

Parabolične antene imajo reflektor, ki nastane kot rezultat parabole, ki se vrti na osi antene. Površino, ki nastane kot posledica tega dejanja, imenujemo paraboloid.

To sposobnost paraboloida imenujemo optična lastnost ali odbojna lastnost parabole in zahvaljujoč temu lahko paraboloid odseva elektromagnetne valove, ki jih prejme od napajalnega mehanizma, ki tvori anteno.

Viseči mostovi

Če vrv podpira homogeno težo, a hkrati bistveno večjo od teže same vrvi, bo rezultat parabola.

To načelo je temeljno za gradnjo vzmetenih mostov, ki jih običajno podpirajo široke jeklene kabelske konstrukcije.

Načelo prispodobe v visečih mostovih je bilo uporabljeno v strukturah, kot sta most Golden Gate, ki se nahaja v mestu San Francisco v Združenih državah Amerike, ali Veliki most ožine Akashi, ki se nahaja na Japonskem in povezuje otok Awaji z Honshūom, glavnim otokom te države.

Astronomska analiza

Analitična geometrija je imela tudi na področju astronomije zelo specifične in odločilne uporabe. V tem primeru je element analitične geometrije, ki prevzame sredinsko stopnjo, elipsa; Zakon gibanja planetov Johannesa Keplerja to odraža.

Kepler, nemški matematik in astronom, je določil, da je elipsa krivulja, ki najbolje ustreza gibanju Marsa; Prej je preizkusil krožni model, ki ga je predlagal Kopernik, vendar je sredi svojih poskusov ugotovil, da je elipsa risala orbito, popolnoma podobno planetu, ki ga je preučeval.

Zahvaljujoč elipsi je Kepler lahko potrdil, da se planeti gibljejo po eliptičnih orbitah; ta premislek je bila izjava tako imenovanega drugega Keplerjevega zakona.

Iz tega odkritja, ki ga je pozneje obogatil angleški fizik in matematik Isaac Newton, je bilo mogoče preučiti orbitacijsko gibanje planetov in povečati znanje o vesolju, katerega del smo.

Teleskop Cassegrain

Teleskop Cassegrain je poimenovan po svojem izumitelju, fiziku rojenega Francoza Laurentu Cassegrainu. V tem teleskopu se uporabljajo načela analitične geometrije, saj je v glavnem sestavljena iz dveh zrcal: prvo je konkavno in parabolično, drugo pa sta konveksna in hiperbolična.

Lokacija in narava teh ogledal omogočata, da se okvara, znana kot sferična aberacija, ne zgodi; Ta napaka preprečuje, da bi se svetlobni žarki odražali v žarišču dane leče.

Teleskop Cassegrain je zelo koristen za opazovanje planetov, poleg tega pa je precej vsestranski in enostaven za uporabo.

Reference

1. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 z britannica.com
2. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 z encyclopediafmath.org
3. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 s khancademy.org
4. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 z wikipedia.org
5. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 s spletnega mesta whitman.edu
6. Analitična geometrija. Pridobljeno 20. oktobra 2017 s spletnega mesta stewartcalculus.com
7. Ravna analitična geometrija Pridobljeno 20. oktobra 2017