SKUPNI DEJAVNIK Z RAZVRŠČANJEM POJMOV: PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Skupni imenovalec z združevanjem izrazov je algebraična postopek, ki vam omogoča, da napišete nekaj algebraične izraze v obliki dejavnikov. Če želite doseči ta cilj, morate najprej pravilno združiti izraz in opazovati, da ima vsaka tako oblikovana skupina dejansko dejanski dejavnik.

Pravilna uporaba tehnike zahteva nekaj prakse, vendar je v nobenem trenutku ne obvladate. Poglejmo najprej ilustrativni primer, opisan korak za korakom. Nato lahko bralec pri vsaki izmed vaj, ki se bodo prikazali pozneje, uporabi to, kar se je naučil.

Slika 1. Če skupite faktor z združevanjem izrazov, je delo z algebrskimi izrazi lažje. Vir: Pixabay.

Recimo, da morate upoštevati naslednji izraz:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ta algebrski izraz sestavlja 4 monomi ali izrazi, ločeni z znakom + in -, in sicer:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Če pogledamo natančno, je x pogost za prve tri, ne pa tudi zadnji, medtem ko je y skupni drugi in četrti, z pa skupni tretji in četrti.

Torej načeloma ni nobenega skupnega dejavnika za štiri izraze hkrati, če pa so združeni, kot bo prikazano v naslednjem razdelku, je možno, da se bo pojavil eden, ki pomaga zapisati izraz kot produkt dveh ali več dejavniki.

Primeri

Faktor izražanja: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

1. korak : skupina

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

2. korak: Poiščite skupni dejavnik vsake skupine

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I mportant : negativni znak je tudi pogost dejavnik, ki ga je treba upoštevati.

Zdaj opazite, da se oklepaji (x + y) ponovijo v dveh izrazih, dobljenih z združevanjem. To je skupni dejavnik, ki so ga iskali.

3. korak: Faktor celotnega izraza

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

S prejšnjim rezultatom je bil dosežen cilj faktoringa, ki ni algebrični izraz, ki temelji na seštevanjih in odštevanjih izrazov, v produkt dveh ali več dejavnikov v našem primeru: (x + y) in (2x - 3z).

Pomembna vprašanja o skupnem dejavniku s skupino

Vprašanje 1 : Kako vedeti, da je rezultat pravilen?

Odgovor : Lastnost distribucije se uporabi na dobljenem rezultatu in po zmanjšanju in poenostavitvi mora tako dosežen izraz sovpadati z izvirnikom, če ne, pride do napake.

V prejšnjem primeru delujemo vzvratno z rezultatom, da preverimo, ali je pravilen:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Ker vrstni red dodatkov ne spremeni vsote, se po uporabi razdelitvene lastnosti vrnejo vsi prvotni izrazi, vključno z znaki, zato je razčlenitev pravilna.

Vprašanje 2: Ali bi ga lahko razvrstili na drug način?

Odgovor: Obstajajo algebrski izrazi, ki omogočajo več oblik združevanja in drugi, ki ne. V izbranem primeru lahko bralec sam preizkusi druge možnosti, na primer tako razvrščanje v skupine:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

In lahko preverite, ali je rezultat enak tistemu, ki smo ga dobili tukaj. Iskanje optimalne skupine je stvar prakse.

Vprašanje 3: Zakaj je treba iz algebričnega izraza vzeti skupni dejavnik?

Odgovor : Ker obstajajo aplikacije, pri katerih izražanje z faktorji olajša izračune. Recimo, da želite nastaviti 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy, ki je enak 0. Kakšne so možnosti?

Da bi odgovorili na to vprašanje, je različica, ki se uporablja na podlagi faktorjev, veliko bolj uporabna od prvotnega razvoja. Navedeno je tako:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Ena možnost, da je izraz vreden 0, je, da je x = -y, ne glede na vrednost z. Drugo pa je, da je x = (3/2) z, ne glede na vrednost y.

Vaje

- Vaja 1

Izvleči skupni faktor naslednjega izraza z razvrščanjem izrazov:

ax + ay + bx + by

Rešitev

Prva dva sta združena s skupnim faktorjem "a" in zadnja dva s skupnim faktorjem "b":

os + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Ko to storite, se razkrije nov skupni faktor, ki je (x + y), tako da:

os + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Drug način za skupino

Ta izraz podpira drug način združevanja. Poglejmo, kaj se zgodi, če izraze preuredimo in naredimo skupino s tistimi, ki vsebujejo x in drugo s tistimi, ki vsebujejo y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Na ta način je nov skupni faktor (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Kar vodi k istemu rezultatu prve preizkušene skupine.

- Vaja 2

Naslednji algebrični izraz mora biti zapisan kot rezultat dveh dejavnikov:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Rešitev

Ta izraz vsebuje 6 izrazov. Poskusimo združiti prvo in četrto, drugo in tretjo ter končno peto in šesto:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Zdaj se vsak oklepaj upošteva:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Na prvi pogled se zdi, da se je stanje zapletlo, vendar bralca ne bi smeli odvračati, saj bomo zadnji napis napisali:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Zadnja dva izraza imata zdaj skupni dejavnik, to je (3b-a), zato jih je mogoče upoštevati. Zelo pomembno je, da ne pozabite na prvi izraz a ² (3a - 1), ki mora vse skupaj spremljati kot dodatek, tudi če z njim ne delate:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Izraz se je zmanjšal na dva izraza in v zadnjem je odkrit nov skupni dejavnik, to je "b". Zdaj je ostalo:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Naslednji pogost dejavnik je 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Ali če raje brez oklepajev:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Ali lahko bralec najde drug način združevanja, ki vodi do istega rezultata?

Slika 2. Predlagane vaje za faktoring. Vir: F. Zapata.

Reference

1. Baldor, A. 1974. Elementarna algebra. Kulturna Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
3. Glavni primeri faktoringa. Pridobljeno: julioprofe.net.
4. UNAM. Osnovna matematika: Faktorimizacija z razvrščanjem pojmov. Fakulteta za računovodstvo in upravo.
5. Zill, D. 1984. Algebra in trigonometrija. MacGraw Hill.