NEODVISNI DOGODKI: DEMONSTRACIJE, PRIMERI, VAJE - DUDE - 2026

Dva dogodka sta neodvisna , ko na verjetnost, da se eden od njih zgodi, ne vpliva dejstvo, da se drugi zgodi - ali se ne zgodi -, če se ti dogodki zgodijo naključno.

Ta okoliščina se zgodi, kadar postopek, ki ustvari rezultat dogodka 1, nikakor ne spremeni verjetnosti možnih rezultatov dogodka 2. Če pa se to ne zgodi, so dogodki rekli, da so odvisni.

Slika 1. Barvni marmor se pogosto uporablja za razlago verjetnosti neodvisnih dogodkov. Vir: Pixabay.

Neodvisna situacija dogodka je naslednja: predpostavimo, da se valjata dve šeststranski kocki, ena modra in druga roza. Verjetnost, da se bo 1 vrgel na modro matico, je neodvisna od verjetnosti, da se bo 1 vrtel ali se ne bo vrtel na roza matrico.

Drugi primer dveh neodvisnih dogodkov je to, da dvakrat zapored vržete kovanec. Rezultat prvega meta ne bo odvisen od rezultata drugega in obratno.

Dokaz dveh neodvisnih dogodkov

Da preverimo, ali sta dva dogodka neodvisna, bomo opredelili koncept pogojne verjetnosti enega dogodka glede na drugega. Za to je treba razlikovati med ekskluzivnimi dogodki in vključujočimi dogodki:

Dva dogodka sta ekskluzivna, če možne vrednosti ali elementi dogodka A nimajo nič skupnega z vrednostmi ali elementi dogodka B.

V dveh ekskluzivnih dogodkih je torej presečišče A z B vakuum:

Brez dogodkov: A∩B = Ø

Nasprotno, če so dogodki vključujoči, se lahko zgodi, da rezultat dogodka A sovpada tudi z drugim B, pri čemer sta A in B različna dogodka. V tem primeru:

Vključni dogodki: A∩B ≠ Ø

To nas privede do določitve pogojne verjetnosti dveh vključujočih dogodkov, z drugimi besedami, verjetnosti pojava dogodka A, kadar koli se zgodi dogodek B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Zato je pogojna verjetnost verjetnost, da se bosta zgodili A in B, deljena z verjetnostjo, da se bo pojavil B. Verjetnost, da se bo B pogojno pojavil A, je lahko tudi opredeljena:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriteriji za vedenje, ali sta dva dogodka neodvisna

Nato bomo podali tri kriterije, da bomo vedeli, ali sta dva dogodka neodvisna. Dovolj je, da je eden od treh izpolnjen, da se izkaže neodvisnost dogodkov.

1.- Če je verjetnost, da se A pojavi vsakič, ko se pojavi B, enaka verjetnosti A, potem so to neodvisni dogodki:

P (A¦B) = P (A) => A je neodvisen od B

2.- Če je verjetnost, da se B pojavi z A, enaka verjetnosti B, potem obstajajo neodvisni dogodki:

P (B¦A) = P (B) => B je neodvisen od A

3.- Če je verjetnost, da se bosta zgodili A in B, enaka zmnožku verjetnosti, da se pojavi A, in verjetnosti, da se pojavi B, potem sta to neodvisna dogodka. Tudi obratno je.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A in B sta neodvisna dogodka.

Primeri samostojnih dogodkov

Primerjajo gumijaste podplate dveh proizvajalcev. Za vzorce vsakega proizvajalca je treba opraviti več preskusov, iz katerih je mogoče ugotoviti, ali spadajo v specifikacije.

Slika 2. Raznolikost gumijastih podplatov. Vir: Pixabay.

Rezultat 252 vzorcev je naslednji:

Proizvajalec 1; 160 izpolnjuje specifikacije; 8 ne ustrezajo specifikacijam.

Proizvajalec 2; 80 izpolnjuje specifikacije; 4 ne ustrezajo specifikacijam.

Dogodek A: "da je vzorec proizvajalca 1".

Dogodek B: "da vzorec ustreza specifikacijam."

Zanima nas, ali sta ta dogodka A in B neodvisna ali ne, za kar uporabimo eno od treh meril, omenjenih v prejšnjem razdelku.

Kriterij: P (B¦A) = P (B) => B je neodvisen od A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Zaključek: Dogodki A in B sta neodvisni.

Recimo za dogodek C: "da vzorec prihaja od proizvajalca 2"

Bo dogodek B neodvisen od dogodka C?

Uporabljamo enega od kriterijev.

Merilo: P (B¦C) = P (B) => B je neodvisno od C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Zato na podlagi razpoložljivih podatkov verjetnost, da naključno izbrani gumijasti podplat ustreza specifikacijam, ni odvisna od proizvajalca.

Pretvarjanje neodvisnega dogodka v odvisen dogodek

Poglejmo si naslednji primer za razlikovanje med odvisnimi in neodvisnimi dogodki.

Imamo vrečko z dvema čokoladama iz bele čokolade in dvema črnima kroglicama. Verjetnost, da dobite belo ali črno žogo, je enaka že pri prvem poskusu.

Recimo, da je bil rezultat iztočnica. Če vlečeno kroglico zamenjamo v vrečki, se prvotna situacija ponovi: dve beli kroglici in dve črni kroglici.

Torej v drugem primeru ali žrebanju so možnosti, da narišete iztočnico ali črno žogo, enake kot prvič. So torej samostojni dogodki.

Če pa izvlečene žoge v prvem primeru ne zamenjamo, ker smo jo pojedli, so v drugem žrebu večje možnosti, da narišete črno kroglico. Verjetnost, da bo druga ekstrakcija ponovno dobila belo, je drugačna od verzije prvega dogodka in je pogojena s prejšnjim rezultatom.

Vaje

- Vaja 1

V škatlo postavimo 10 frnikolov sliko 1, od tega sta 2 zeleni, 4 modri in 4 beli. Naključno bosta izbrana dva marmorja, eden prvi in ​​kasneje. Prosimo, da najdemo
verjetnost, da noben od njih ni modri pod naslednjimi pogoji:

a) Z zamenjavo, to je vrnitvijo prvega marmorja pred drugim izborom v polje. Navedite, ali gre za neodvisne ali odvisne dogodke.

b) Brez zamenjave, tako da prvi izvlečeni marmor ostane ob škropljenju izven škatle. Podobno navedite, ali gre za odvisne ali neodvisne dogodke.

Rešitev za

Izračunamo verjetnost, da prvi izvlečen marmor ni modre barve, kar je 1 minus verjetnost, da je modra P (A), ali neposredno, da ni modra, ker je izšel zeleno ali belo:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (ne modra) = 1 - (2/5) = 3/5

O dobro:

P (zelena ali bela) = 6/10 = 3/5.

Če se izvlečen marmor vrne, je vse kot prej. V tem drugem žrebu je tudi 3/5 verjetnost, da narisan marmor ni modre barve.

P (ne modra, ne modra) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Dogodki so neodvisni, saj je bil izvlečen marmor vrnjen v škatlo in prvi dogodek ne vpliva na verjetnost pojava drugega.

Rešitev b

Za prvo ekstrakcijo nadaljujte kot v prejšnjem razdelku. Verjetnost, da ni modre barve, je 3/5.

Za drugo ekstrakcijo imamo v vrečki 9 frnikolov, saj se prvi ni vrnil, vendar ni bil modre barve, zato je v vrečki 9 marmorjev in 5 ni modro:

P (zelena ali bela) = 5/9.

P (nobena ni modra) = P (najprej ni modra). P (drugi ni modri / prvi ni modri) = (3/5). (5/9) = 1/3

V tem primeru to niso neodvisni dogodki, saj prvi dogodek pogojuje drugi.

- Vaja 2

Trgovina ima 15 majic v treh velikostih: 3 majhne, ​​6 srednjih in 6 velikih. 2 majici sta izbrani naključno.

a) Kolikšna je verjetnost, da sta obe izbrani majici majhni, če je ena vzeta prva in ne da bi zamenjali drugo v seriji?

b) Kolikšna je verjetnost, da sta obe izbrani majici majhni, če eno narišemo prvo, jo zamenjamo v seriji, drugo pa odstranimo?

Rešitev za

Tu sta dva dogodka:

Dogodek A: prva izbrana majica je majhna

Dogodek B: druga izbrana majica je majhna

Verjetnost dogodka A je: P (A) = 3/15

Verjetnost, da se bo zgodil dogodek B, je: P (B) = 2/14, ker je bila majica že odstranjena (ostalo jih je 14), a tudi dogodek A se želi izpolniti, mora biti prva majica odstranjena in zato oba sta 2 majhna.

To pomeni, da je verjetnost, da bosta A in B rezultat verjetnosti, je:

P (A in B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Zato je verjetnost, da se dogodka A in B zgodi, enaka proizvodu, ki se zgodi, da se dogodek A zgodi, če je verjetnost, da se dogodek B zgodi, če dogodek A.

Treba je opozoriti, da:

P (B¦A) = 2/14

Verjetnost, da se dogodek B zgodi ne glede na to, ali se bo dogodek A zgodil ali ne, bo:

P (B) = (2/14), če je bil prvi majhen, ali P (B) = 3/14, če prvi ni bil majhen.

Na splošno je mogoče sklepati naslednje:

P (B¦A) ni enak P (B) => B ni neodvisen od A

Rešitev b

Spet sta tu dva dogodka:

Dogodek A: prva izbrana majica je majhna

Dogodek B: druga izbrana majica je majhna

P (A) = 3/15

Ne pozabite, da ne glede na rezultat, se majica, ki je vlečena iz serije, zamenja in spet se majica nariše naključno. Verjetnost, da se bo zgodil dogodek B, če je prišlo do dogodka A, je:

P (B¦A) = 3/15

Verjetnost dogodkov A in B bo:

P (A in B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Upoštevajte to:

P (B¦A) je enako P (B) => B je neodvisen od A.

- Vaja 3

Razmislimo o dveh neodvisnih dogodkih A in B. Znano je, da je verjetnost, da se dogodek A zgodi, 0,2, verjetnost, da se dogodek B zgodi, pa 0,3. Kakšna je verjetnost, da se zgodita oba dogodka?

2. rešitev

Če vemo, da so dogodki neodvisni, je znano, da je verjetnost, da se oba dogodka zgodita, rezultat posameznih verjetnosti. To pomeni,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Upoštevajte, da je verjetnost veliko manjša od verjetnosti, da se bo vsak dogodek zgodil, ne glede na rezultat drugega. Ali povedano drugače, precej nižji od posameznih kvot.

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistika za management in ekonomijo. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Verjetnost neodvisnih dogodkov. Pridobljeno: monterreyinstitute.org
3. Učitelj matematike. Neodvisni dogodki. Pridobljeno: youtube.com
4. Superprof. Vrste dogodkov, odvisni dogodki. Pridobljeno: superprof.es
5. Virtualni učitelj. Verjetnost. Pridobljeno: vitutor.net
6. Wikipedija. Neodvisnost (verjetnost). Pridobljeno: wikipedia.com