ENEAGON: LASTNOSTI, KAKO NAREDITI ENEAGON, PRIMERI - MATEMATIKA

Enegon je poligon z devetimi straneh in devet tock, ki lahko ali pa ne sme biti redna. Ime eneágono prihaja iz grščine in je sestavljeno iz grških besed ennea (devet) in gonon (kot).

Alternativno ime za devetstranski poligon je nonagon, ki izhaja iz latinske besede nonus (devet) in gonon (vertex). Po drugi strani pa, če sta strani ali koti eneagona med seboj neenaki, potem imate nepravilen eneagon. Če pa je po drugi strani vseh devet strani in devet kotov eneagona enako, potem je to navaden eneagon.

Slika 1. Redni eneagon in nepravilni eneagon. (Lastna izdelava)

Lastnosti eneagona

Za mnogokotnik z n stranmi je vsota njegovih notranjih kotov:

(n - 2) * 180 °

V enegonu bi bilo n = 9, torej je vsota njegovih notranjih kotov:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

V katerem koli poligonu je število diagonal:

D = n (n - 3) / 2 in v primeru enegona, ker je n = 9, imamo potem D = 27.

Redni enegon

V navadnem eneagonu ali nonagonu je devet (9) notranjih kotov z enako mero, zato vsak kot meri eno devetino celotne vsote notranjih kotov.

Meritev notranjih kotov enegona je takrat 1260º / 9 = 140º.

Slika 2. Apotema, polmer, stranice, koti in vrhovi navadnega eneagona. (Lastna izdelava)

Za izpeljavo formule za območje navadnega enegona s stranico d je priročno narediti nekaj pomožnih konstrukcij, kot so tiste, prikazane na sliki 2.

Središče O najdemo s sledenjem bisektorjev dveh sosednjih strani. Središče O, enako oddaljeno od tock.

Polmer dolžine r je odsek od središča O do vrha enegona. Slika 2 prikazuje polmer OD in OE dolžine r.

Apotema je segment, ki sega od središča do sredine točke enegona. Na primer, UL je apotem, katerega dolžina je a.

Območje enegona je znano stran in apotem

Število trikotnika ODE štejemo na sliki 2. Površina tega trikotnika je produkt njegove osnove DE in višine OJ, deljeno z 2:

Območje ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Ker je v enegonu 9 trikotnikov enakega območja, se sklene, da je območje istega:

Enegonsko območje = (9/2) (d * a)

Območje strani znanega enegona

Če je znana samo dolžina d strani enegona, potem je treba poiskati dolžino apoteme, da lahko v prejšnjem razdelku uporabimo formulo.

V J štejemo pravi trikotnik OJE (glej sliko 2). Če uporabimo tangentno trigonometrično razmerje, dobimo:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Kot ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, saj je EO bisektor notranjega kota enegona.

Po drugi strani je UL apotema dolžine a.

Potem, ker je J sredina točke ED, sledi, da je EJ = d / 2.

Z zamenjavo prejšnjih vrednosti v tangentnem razmerju imamo:

porjavelost (70º) = a / (d / 2).

Zdaj razčistimo dolžino apotema:

a = (d / 2) porumen (70 °).

Prejšnji rezultat je nadomeščen s formulo območja, da dobimo:

Površina enegona = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) porjavelost (70 °))

Na koncu najdemo formulo, ki omogoča pridobitev območja pravilnega enegona, če je znana le dolžina d njegovih strani:

Površina enegona = (9/4) d ² tan (70 °) = 6,1818 d ²

Obod rednega enegona je poznal svojo stran

Obod mnogokotnika je vsota njegovih strani. V primeru enegona, saj vsaka od obeh strani meri dolžino d, bo njegov obod vsota devetkrat d, to je:

Obod = 9 d

Obod enegona je poznaval svoj polmer

Glede na pravi trikotnik OJE v J (glej sliko 2) se uporabi razmerje trigonometričnega kosinusa:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Kje je pridobljen iz:

d = 2r cos (70 °)

Namestitev tega rezultata dobimo formulo za obod kot funkcijo polmera enegona:

Obod = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Kako narediti navaden enegon

1- Če želite sestaviti navaden eneagon z ravnilom in kompasom, začnite z oboda c, ki obkroža eneagon. (glej sliko 3)

2- Skoči sredino O oboda se vlečeta dve pravokotni črti. Nato sta križišča A in B ene od črt označena z obodom.

3- S kompasom, centriranjem na prestreznici B in odprtino, ki je enaka polmeru BO, je narisan lok, ki v točki C. prestreže prvotni obod.

Slika 3. Koraki za izdelavo navadnega enegona. (Lastna izdelava)

4- Prejšnji korak se ponovi, vendar naredimo središče v A in polmeru AO, narisan je lok, ki prestreže obod c v točki E.

5- Z odpiranjem AC in središčem v A je narisan lok oboda. Podobno je z odprtjem BE in središčem B narisan drug lok. Presečišče teh dveh lokov je označeno kot točka G.

6- S centriranjem na G in odpiranjem GA je narisan lok, ki v točki H. prestreže sekundarno os (v tem primeru vodoravno). Sečišče sekundarne osi s prvotnim obodom c je označeno kot I.

7- Dolžina segmenta IH je enaka dolžini d strani enegona.

8- Z odprtino kompasa IH = d se loki središča A polmera AJ, središče J polmera AK, središče K polmer KL in središče L polmer LP LP zaporedno.

9- Podobno se od A in na desni strani narišejo loki s polmerom IH = d, ki označujejo točke M, N, C in Q na prvotnem obodu c.

10- Na koncu se pripravijo odseki AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ in na koncu PB.

Upoštevati je treba, da način gradnje ni povsem natančen, saj je mogoče preveriti, da je zadnja stran PB 0,7% daljša od ostalih strani. Do danes ni znanega načina gradnje z ravnilom in kompasom, ki bi bil stoodstotno natančen.

Primeri

Tu je nekaj predelanih primerov.

Primer 1

Želimo sestaviti navaden enegon, katerega stranice merijo 2 cm. Kakšen polmer mora imeti obod, ki ga obkroža, da se z uporabo predhodno opisane konstrukcije pridobi želeni rezultat?

V prejšnjem razdelku je bila določena formula, ki povezuje polmer r opisanega kroga s stranjo d običajnega enegona:

d = 2r cos (70 °)

Reševanje za r iz prejšnjega izraza imamo:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,44619 * d

Z zamenjavo vrednosti d = 2 cm v prejšnji formuli dobimo polmer r 2,92 cm.

Primer 2

Kakšno je območje navadnega enegona s stranico 2 cm?

Za odgovor na to vprašanje se moramo sklicevati na prej prikazano formulo, ki nam omogoča, da najdemo območje znanega enegona po dolžini d njegove strani: