Sintetični delitev je preprost način za delitev polinom P (x) kateremkoli izmed obliki d (x) = x - c. Na primer, polinom P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) lahko predstavimo kot množenje dveh najpreprostejših polinomov (x + 1) in (x 4 + 2x 3 ).
Je zelo uporabno orodje, saj nam poleg deljenja polinomov omogoča tudi oceno polinoma P (x) na poljubno število c, kar nam natančno pove, ali je omenjeno število nič polinoma ali ne.
Zahvaljujoč algoritmu delitve vemo, da če imamo dva nestalna polinoma P (x) in d (x), obstajata unikatna polinoma q (x) in r (x), tako da je res, da je P (x) = q (x) d (x) + r (x), kjer je r (x) nič ali manj kot q (x). Ti polinomi so znani kot količnik in preostanek oziroma preostanek.
V primerih, ko je polinom d (x) oblike x- c, nam sintetična razdelitev na kratek način ugotovi, kdo sta q (x) in r (x).
Metoda sintetične delitve
P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 polinom, ki ga želimo deliti, in d (x) = xc delitelj. Za delitev po metodi sintetične delitve nadaljujemo na naslednji način:
1- V prvo vrstico zapišemo koeficiente P (x). Če se katera koli moč X ne pojavi, kot njen koeficient postavimo nič.
2- V drugi vrstici levo od n postavimo c in narišemo ločnice, kot je prikazano na naslednji sliki:
3- V tretjo vrsto znižamo vodilni koeficient.
V tem izrazu b n-1 = a n
4- Pomnožimo c z vodilnim koeficientom b n-1 in rezultat zapišemo v drugo vrstico, vendar en stolpec desno.
5- Dodamo stolpec, kamor zapišemo prejšnji rezultat in rezultat postavimo pod to vsoto; torej v istem stolpcu, tretja vrstica.
Ko dodamo, imamo torej n-1 + c * b n-1 , ki ga bomo zaradi udobja poklicali b n-2
6- Pomnožimo c s prejšnjim rezultatom in v drugo vrstico napišemo rezultat.
7- Ponavljamo koraka 5 in 6, dokler ne dosežemo koeficienta pri 0 .
8- Odgovor zapišemo; torej količnik in preostanek. Ker delimo polinom stopnje n na polinom stopnje 1, imamo kvocijent stopnje n-1.
Koeficienti polimiala količnika bodo številke v tretji vrstici, razen v zadnji, ki bo preostali polinom ali preostanek delitve.
Rešene vaje
- Primer 1
Izvedite naslednjo delitev po metodi sintetične delitve:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Rešitev
Koeficiente dividende najprej zapišemo na naslednji način:
Nato zapišemo c na levi strani, v drugi vrsti, skupaj z ločnicami. V tem primeru c = -1.
Spustimo vodilni koeficient (v tem primeru b n-1 = 1) in ga pomnožimo z -1:
Njen rezultat zapišemo desno v drugo vrstico, kot je prikazano spodaj:
Številke dodamo v drugem stolpcu:
Pomnožimo 2 z -1 in rezultat zapišemo v tretji stolpec, drugo vrstico:
V tretji stolpec dodamo:
Nadaljujemo na enak način, dokler ne pridemo do zadnjega stolpca:
Tako imamo, da je zadnje dobljeno število preostanek delitve, preostala števila pa koeficienti polimiala količnika. To piše takole:
Če želimo preveriti, da je rezultat pravilen, je dovolj, da preverimo, ali je naslednja enačba resnična:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Tako lahko preverimo, ali je dobljeni rezultat pravilen.
- Primer 2
Izvedite naslednjo delitev polinomov po metodi sintetične delitve
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Rešitev
V tem primeru imamo, da se izraz x 2 ne pojavi, zato bomo kot njegov koeficient zapisali 0. Tako bi polinom znašal 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
Njihove koeficiente zapišemo v vrsto, to je:
Na levo stran druge vrstice napišemo vrednost C = -2 in narišemo črte delitve.
Spustimo vodilni koeficient b n-1 = 7 in ga pomnožimo z -2, njegov rezultat zapišemo v drugo vrstico na desni.
Dodamo in nadaljujemo, kot je predhodno pojasnjeno, dokler ne dosežemo zadnjega izraza:
V tem primeru je preostanek r (x) = - 52 in dobljeni količnik je q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Primer 3
Drugi način uporabe sintetične delitve je naslednji: predpostavimo, da imamo polinom P (x) stopnje n in želimo vedeti, kakšna je vrednost, če jo ocenimo pri x = c.
Z algoritmom delitve lahko polinom P (x) zapišemo na naslednji način:
V tem izrazu sta količnik količnik q (x) in r (x). Če je d (x) = x- c, pri ocenjevanju pri c v polinomu dobimo naslednje:
Zato ostane le najti ar (x) in to lahko storimo zahvaljujoč sintetični razdelitvi.
Na primer, imamo polinom P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 in želimo vedeti, kakšna je njegova vrednost, če jo ocenimo na x = 5. Za to izvedemo delitev med P (x) in d (x) = x -5 po metodi sintetične delitve:
Ko so operacije končane, vemo, da lahko P (x) zapišemo na naslednji način:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Zato moramo pri ocenjevanju tega:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Kot lahko vidimo, je mogoče s sintetično delitvijo poiskati vrednost polinoma tako, da ga ocenimo na c, ne pa da preprosto nadomestimo c za x.
Če bi poskušali oceniti P (5) na tradicionalen način, bi bili primorani izvesti nekaj izračunov, ki pogosto postanejo dolgočasni.
- Primer 4
Algoritem delitve polinomov velja tudi za polinome s kompleksnimi koeficienti in posledično imamo, da metoda sintetične delitve deluje tudi za take polinome. Primer bomo videli spodaj.
Uporabili bomo metodo sintetične delitve, da pokažemo, da je z = 1+ 2i nič polinoma P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to pomeni, da je preostanek delitve P (x) na d (x) = x - z enak nič.
Nadaljujemo kot prej: v prvo vrstico napišemo koeficiente P (x), nato v drugo napišemo z in narišemo ločnice.
Delimo tako kot prej; to je:
Opazimo lahko, da je preostanek nič; zato sklepamo, da je z = 1+ 2i nič P (x).
Reference
- Baldor Aurelio. Algebra Grupo uredništvo Patria.
- Demana, Waits, Foley & Kennedy. Prekalkulus: grafična, numerična, algebraična 7. ed. Pearsonova vzgoja.
- Flamming W & Varserg D. Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Dvorana Prentice
- Michael Sullivan. Prekalkul 4. izd. Pearsonova vzgoja.
- Rdeča. Armando O. Algebra 1 6. izd. Atenaj.