RAZLIKA KOCK: FORMULE, ENAČBE, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Razlika kock je binomski algebrski izraz tvorita ³ - b ³ , kjer lahko izrazi A in B se realne številke ali algebrske izraze različnih tipov. Primer razlike med kockami je: 8 - x ³ , saj lahko 8 zapišemo kot 2 ³ .

Geometrično si lahko predstavljamo veliko kocko s stranico a, od katere se odšteje majhna kocka s stranico b, kot je prikazano na sliki 1:

Slika 1. Razlika kock. Vir: F. Zapata.

Prostornina dobljene številke je natančno razlika v kockah:

V = a ³ - b ³

Za iskanje alternativnega izraza lahko opazimo, da lahko ta številka razpade na tri prizme, kot je prikazano spodaj:

Slika 2. Razlika kock (levo od enakosti) je enaka vsoti delnih količin (desno). Vir: F. Zapata.

Prizma ima prostornino, ki jo dobi izdelek treh dimenzij: širina x višina x globina. Na ta način dobimo prostornino:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Faktor b je običajen na desni strani. Poleg tega je na zgornji sliki še posebej res, da:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Zato lahko rečemo, da: b = a - b. Tako:

Ta način izražanja razlike med kockami se bo izkazal za zelo uporabnega v številnih aplikacijah in bi ga dobili na enak način, tudi če bi bila stran manjkajoče kocke v kotu drugačna od b = a / 2.

Upoštevajte, da drugi oklepaji zelo spominjajo na pomemben produkt kvadrata vsote, vendar se navzkrižni izraz ne pomnoži z 2. Bralec lahko razširi desno stran in preveri, ali je res dobljen ³ - b ³ .

Primeri

Razlike kock je več:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² in ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Analizirajmo vsakega od njih. V prvem primeru lahko 1 zapišemo kot 1 = 1 ³ in izraz m ⁶ postane: (m ² ) ³ . Oba izraza sta popolni kocki, zato je njuna razlika:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

V drugem primeru so pogoji ponovno napisani:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Razlika teh kock je: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Končno je delež (1/125) enak (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ in y ⁹ = (y ³ ) ³ . Če vse to zamenjate v izvirnem izrazu, dobite:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Faktoring razlike kock

Faktoring razlike kock poenostavi številne algebrske operacije. Če želite to narediti, uporabite samo zgoraj navedeno formulo:

Slika 3. Faktorizacija razlike med kockami in izražanje izjemnega količnika. Vir: F. Zapata.

Zdaj postopek za uporabo te formule vključuje tri korake:

- Najprej dobimo kockovski koren vsakega od pogojev razlike.

- Nato sta konstruirana binom in trinom, ki se pojavita na desni strani formule.

- Končno se binom in trinomia zamenjata, da dobimo končno faktorizacijo.

Ponazorimo uporabo teh korakov z vsakim zgoraj navedenim primerom razlike kock in tako dobimo njegov faktorski ekvivalent.

Primer 1

Izračunajte 1 - m ⁶ po opisanih korakih. Začnemo s prepisovanjem izraza kot 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, da izvlečemo ustrezne kocke korenin vsakega izraza:

Nato sta konstruirana binom in trinom:

a = 1

b = m ²

Torej:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Končno je nadomeščen s formulo a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Primer 2

Razvrščanje faktorjev:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Ker gre za popolne kocke, so kockaste korenine takoj: a ² b in 2z ⁴ in ² , zato sledi, da:

- Binom: a ² b - 2z ⁴ in ²

- Trinom: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Zdaj je zasnovana želena faktorizacija:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Faktoring je načeloma pripravljen, vendar je pogosto potrebno poenostaviti vsak izraz. Nato se razvije izjemen izdelek - kvadrat vsote, ki se pojavi na koncu, nato pa se dodajo podobni izrazi. Ne pozabite, da je kvadrat vsote:

Pomemben izdelek na desni je razvit tako:

(a ² b + 2z ⁴ in ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ in ² + 4z ⁸ in ⁴

Nadomestitev ekspanzije, dobljene s faktorizacijo razlike kock:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Na koncu, če združimo pojme in razvrstimo numerične koeficiente, ki so enakomerni, dobimo:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Primer 3

Faktoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ je veliko lažji kot prejšnji primer. Najprej se ugotovita ekvivalenta a in b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Nato so neposredno substituirane v formuli:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Vaja rešena

Razlika kock ima, kot rečeno, v Algebri različne aplikacije. Poglejmo nekaj:

Vaja 1

Rešite naslednje enačbe:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Rešitev za

Najprej se enačba upošteva na naslednji način:

x ² (x ³ - 125) = 0

Ker je 125 popolna kocka, se oklepaji zapišejo kot razlika med kockami:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Prva rešitev je x = 0, vendar najdemo več, če naredimo x ³ - 5 ³ = 0, potem:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Rešitev b

Leva stran enačbe je napisana kot 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Tako:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Ker je eksponent enak:

9x = 4 → x = 9/4

Vaja 2

Faktor izražanja:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Rešitev

Ta izraz je razlika med kockami, če v formuli za faktoring upoštevamo, da:

a = x + y

b = x- y

Potem je najprej sestavljen binom:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

In zdaj trinom:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Razviti so pomembni izdelki:

Nato morate zamenjati in zmanjšati podobne izraze:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoring rezultate v:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Reference

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Uredništvo kulturne Venezolana SA
2. Fundacija CK-12. Vsota in razlika kock. Pridobljeno: ck12.org.
3. Akademija Khan. Faktoring razlik kock. Pridobljeno: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Razlika dveh kock. Pridobljeno: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktoring razlike kock. Obnovljeno iz: dcb.fi-c.unam.mx.