- Primeri
- Faktoring razlike kock
- Primer 1
- Primer 2
- Primer 3
- Vaja rešena
- Vaja 1
- Rešitev za
- Rešitev b
- Vaja 2
- Rešitev
- Reference
Razlika kock je binomski algebrski izraz tvorita 3 - b 3 , kjer lahko izrazi A in B se realne številke ali algebrske izraze različnih tipov. Primer razlike med kockami je: 8 - x 3 , saj lahko 8 zapišemo kot 2 3 .
Geometrično si lahko predstavljamo veliko kocko s stranico a, od katere se odšteje majhna kocka s stranico b, kot je prikazano na sliki 1:

Slika 1. Razlika kock. Vir: F. Zapata.
Prostornina dobljene številke je natančno razlika v kockah:
V = a 3 - b 3
Za iskanje alternativnega izraza lahko opazimo, da lahko ta številka razpade na tri prizme, kot je prikazano spodaj:

Slika 2. Razlika kock (levo od enakosti) je enaka vsoti delnih količin (desno). Vir: F. Zapata.
Prizma ima prostornino, ki jo dobi izdelek treh dimenzij: širina x višina x globina. Na ta način dobimo prostornino:
V = a 3 - b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
Faktor b je običajen na desni strani. Poleg tega je na zgornji sliki še posebej res, da:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Zato lahko rečemo, da: b = a - b. Tako:
Ta način izražanja razlike med kockami se bo izkazal za zelo uporabnega v številnih aplikacijah in bi ga dobili na enak način, tudi če bi bila stran manjkajoče kocke v kotu drugačna od b = a / 2.
Upoštevajte, da drugi oklepaji zelo spominjajo na pomemben produkt kvadrata vsote, vendar se navzkrižni izraz ne pomnoži z 2. Bralec lahko razširi desno stran in preveri, ali je res dobljen 3 - b 3 .
Primeri
Razlike kock je več:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 in 6
(1/125) .x 6 - 27.y 9
Analizirajmo vsakega od njih. V prvem primeru lahko 1 zapišemo kot 1 = 1 3 in izraz m 6 postane: (m 2 ) 3 . Oba izraza sta popolni kocki, zato je njuna razlika:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
V drugem primeru so pogoji ponovno napisani:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
Razlika teh kock je: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Končno je delež (1/125) enak (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3 in y 9 = (y 3 ) 3 . Če vse to zamenjate v izvirnem izrazu, dobite:
(1/125) .x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Faktoring razlike kock
Faktoring razlike kock poenostavi številne algebrske operacije. Če želite to narediti, uporabite samo zgoraj navedeno formulo:

Slika 3. Faktorizacija razlike med kockami in izražanje izjemnega količnika. Vir: F. Zapata.
Zdaj postopek za uporabo te formule vključuje tri korake:
- Najprej dobimo kockovski koren vsakega od pogojev razlike.
- Nato sta konstruirana binom in trinom, ki se pojavita na desni strani formule.
- Končno se binom in trinomia zamenjata, da dobimo končno faktorizacijo.
Ponazorimo uporabo teh korakov z vsakim zgoraj navedenim primerom razlike kock in tako dobimo njegov faktorski ekvivalent.
Primer 1
Izračunajte 1 - m 6 po opisanih korakih. Začnemo s prepisovanjem izraza kot 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3, da izvlečemo ustrezne kocke korenin vsakega izraza:


Nato sta konstruirana binom in trinom:
a = 1
b = m 2
Torej:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1.m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Končno je nadomeščen s formulo a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ):
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Primer 2
Razvrščanje faktorjev:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3
Ker gre za popolne kocke, so kockaste korenine takoj: a 2 b in 2z 4 in 2 , zato sledi, da:
- Binom: a 2 b - 2z 4 in 2
- Trinom: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
Zdaj je zasnovana želena faktorizacija:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Faktoring je načeloma pripravljen, vendar je pogosto potrebno poenostaviti vsak izraz. Nato se razvije izjemen izdelek - kvadrat vsote, ki se pojavi na koncu, nato pa se dodajo podobni izrazi. Ne pozabite, da je kvadrat vsote:
Pomemben izdelek na desni je razvit tako:
(a 2 b + 2z 4 in 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 in 2 + 4z 8 in 4
Nadomestitev ekspanzije, dobljene s faktorizacijo razlike kock:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Na koncu, če združimo pojme in razvrstimo numerične koeficiente, ki so enakomerni, dobimo:
(a 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Primer 3
Faktoring (1/125) x 6 - 27y 9 je veliko lažji kot prejšnji primer. Najprej se ugotovita ekvivalenta a in b:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Nato so neposredno substituirane v formuli:
(1/125) .x 6 - 27y 9 =.
Vaja rešena
Razlika kock ima, kot rečeno, v Algebri različne aplikacije. Poglejmo nekaj:
Vaja 1
Rešite naslednje enačbe:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Rešitev za
Najprej se enačba upošteva na naslednji način:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Ker je 125 popolna kocka, se oklepaji zapišejo kot razlika med kockami:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
Prva rešitev je x = 0, vendar najdemo več, če naredimo x 3 - 5 3 = 0, potem:
x 3 = 5 3 → x = 5
Rešitev b
Leva stran enačbe je napisana kot 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 . Tako:
4 3 - (9x) 3 = 0
Ker je eksponent enak:
9x = 4 → x = 9/4
Vaja 2
Faktor izražanja:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Rešitev
Ta izraz je razlika med kockami, če v formuli za faktoring upoštevamo, da:
a = x + y
b = x- y
Potem je najprej sestavljen binom:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
In zdaj trinom:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Razviti so pomembni izdelki:
Nato morate zamenjati in zmanjšati podobne izraze:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Faktoring rezultate v:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
Reference
- Baldor, A. 1974. Algebra. Uredništvo kulturne Venezolana SA
- Fundacija CK-12. Vsota in razlika kock. Pridobljeno: ck12.org.
- Akademija Khan. Faktoring razlik kock. Pridobljeno: es.khanacademy.org.
- Math is Fun Advanced. Razlika dveh kock. Pridobljeno: mathsisfun.com
- UNAM. Faktoring razlike kock. Obnovljeno iz: dcb.fi-c.unam.mx.
