KURTOZA: DEFINICIJA, VRSTE, FORMULE, ZA KAJ GRE, NA PRIMER - DUDE - 2026

Sploščenosti ali sploščenost je statistični parameter, ki opisuje verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke, ki kaže stopnjo koncentracije vrednostmi okrog osrednjega ukrepa. To je znano tudi kot "najvišja ocena."

Izraz izvira iz grškega "kurtos", kar pomeni obokani, zato kurtoza označuje stopnjo kazanja ali sploščenosti porazdelitve, kot je razvidno iz naslednje slike:

Slika 1. Različne vrste kurtoze. Vir: F. Zapata.

Skoraj vse vrednosti naključne spremenljivke se nagibajo okrog osrednje vrednosti, kot je srednja vrednost. Toda v nekaterih distribucijah so vrednosti bolj razpršene kot pri drugih, kar ima za posledico ravnejše ali vitkejše krivulje.

Opredelitev

Kurtoza je številčna vrednost, značilna za vsako frekvenčno porazdelitev, ki jo glede na koncentracijo vrednosti okoli povprečja razvrstimo v tri skupine:

- Leptokurtični: pri katerih so vrednosti zelo zbrane okoli povprečja, zato je porazdelitev precej poudarjena in vitka (slika 1, levo).

- Mezokúrtic: ima zmerno koncentracijo vrednosti okoli povprečja (slika 1 v sredini).

- Platicúrtica: ta porazdelitev ima širšo obliko, saj se vrednosti ponavadi bolj razpršijo (slika 1 na desni).

Formule in enačbe

Kurtoza ima lahko kakršno koli vrednost, brez omejitev. Njen izračun se izvede odvisno od načina dostave podatkov. Nota, uporabljena v vsakem primeru, je naslednja:

-Koeficient kurtoze: g ₂

-Aritmetična sredina: X ali x s palico

-Na i-ti vrednost: x _i

-Standardno odstopanje: σ

-Število podatkov: N

-Vernostnost i-te vrednosti: f _i

-Blagovna znamka: mx _i

S to notacijo predstavljamo nekaj najbolj uporabljenih formul za iskanje kurtoze:

- Kurtoza glede na predstavitev podatkov

Podatki niso združeni ali razvrščeni v frekvence

Podatki so razvrščeni v intervale

Prekomerna kurtoza

Imenuje ga tudi Fisherjev ciljni koeficient ali Fisherjev ukrep, zato se primerja raziskovana porazdelitev z normalno porazdelitvijo.

Kadar je presežna kurtoza 0, smo v normalni porazdelitvi ali Gaussovem zvonu. Na ta način, kadar koli izračunamo presežno kurtozo porazdelitve, jo dejansko primerjamo z normalno porazdelitvijo.

Za nerazvrščene in združene podatke je Fisherjev kazalni koeficient, označen s K:

K = g ₂ - 3

Zdaj je mogoče pokazati, da je kurtoza normalne porazdelitve 3, torej če je Fisherjev koeficient 0 ali blizu 0 in obstaja mezokruktična porazdelitev. Če je K> 0, je porazdelitev leptokurtična in če je K <0 platikurtna.

Za kaj je kurtoza?

Kurtoza je merilo spremenljivosti, ki se uporablja za označevanje morfologije porazdelitve. Na ta način lahko primerjamo simetrične porazdelitve z enakim povprečjem in isto disperzijo (podane s standardnim odklonom).

Ukrepi variabilnosti zagotavljajo, da so povprečja zanesljiva in pomagajo nadzorovati razlike v porazdelitvi. Kot primer si oglejmo ti dve situaciji.

Plače 3 oddelkov

Recimo, da naslednji grafikon prikazuje razdelitev plač treh oddelkov istega podjetja:

Slika 2. Tri distribucije z različno kurtozo ponazarjajo praktične situacije. (Pripravila Fanny Zapata)

Krivulja A je najtanjša od vseh, iz njene oblike pa je mogoče sklepati, da je večina plač tega oddelka zelo blizu povprečja, zato večina zaposlenih prejema podobno nadomestilo.

Po drugi strani v oddelku B krivulja plač sledi normalni porazdelitvi, saj je krivulja mezokurtična, v kateri domnevamo, da so bile plače razporejene naključno.

In končno imamo krivuljo C, ki je zelo ravna, znak, da je plačni razpon na tem oddelku veliko širši kot na drugih.

Rezultati izpita

Predpostavimo, da tri krivulje na sliki 2 predstavljajo rezultate izpita, ki je bil izveden za tri skupine študentov istega predmeta.

Skupina, katere ocene so predstavljene z leptokurtsko krivuljo, je precej homogena, večina je dobila povprečno ali tesno oceno.

Možno je tudi, da je bil rezultat posledica testnih vprašanj z več ali manj enako stopnjo težavnosti.

Po drugi strani rezultati skupine C kažejo na večjo heterogenost v skupini, ki verjetno vsebuje povprečne študente, nekaj bolj naprednih učencev in zagotovo enako manj pozorne.

Lahko pa pomeni, da so imela testna vprašanja zelo različne stopnje zahtevnosti.

Krivulja B je mezokotična, kar kaže, da so rezultati testov sledili normalni porazdelitvi. To je ponavadi najpogostejši primer.

Delani primer kurtoze

Poiščite Fisherjev točkovalni koeficient za naslednje ocene, pridobljen na izpitu iz fizike skupini študentov, z lestvico od 1 do 10:

Rešitev

Naslednji izraz bo uporabljen za nerazvrščene podatke, navedene v prejšnjih razdelkih:

K = g ₂ - 3

Ta vrednost vam omogoča, da poznate vrsto distribucije.

Za izračun g ₂ je priročno, da to storite urejeno, korak za korakom, saj je treba rešiti več aritmetičnih operacij.

Korak 1

Najprej se izračuna povprečje ocen. Obstaja N = 11 podatkov.

2. korak

Najdemo standardni odklon, za katerega se uporablja ta enačba:

σ = 1.992

Lahko pa sestavite tudi tabelo, ki je prav tako potrebna za naslednji korak in v katero je zapisan vsak izraz vsot, ki bodo potrebni, začenši z (x _i - X), nato (x _i - X) ² in nato (x _i - X) ⁴ :

3. korak

Izvedite vsoto, navedeno v števcu formule za g ₂ . Za to se uporabi rezultat desnega stolpca prejšnje tabele:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Tako:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,667

Fisherjev koeficient je:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Zanimiv je znak rezultata, ki, če je negativen, ustreza platicurtični porazdelitvi, kar je mogoče razlagati tako, kot je bilo storjeno v prejšnjem primeru: verjetno gre za heterogen tečaj s študenti različnih stopenj zanimanja ali izpitna vprašanja so bila različnih stopenj zahtevnosti.

Uporaba preglednice, kot je Excel, močno olajša reševanje tovrstnih težav in ponuja tudi možnost grafitiranja distribucije.

Reference

1. Levin, R. 1988. Statistika za skrbnike. 2. Izdaja. Dvorana Prentice.
2. Marco, F. Curtosis. Pridobljeno: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetrija in kurtoza. Pridobljeno iz: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Odločanje v managementu. Limusa.
5. Wikipedija. Kurtoza. Pridobljeno: en.wikipedia.org.