VRV (GEOMETRIJA): DOLŽINA, IZREK IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

Akord , v ravnini, geometrije, je daljico, ki povezuje dve točki na krivulji. Črta, ki vsebuje ta segment, naj bi bila sekantna črta krivulje. To je pogosto krog, vendar se akordi zagotovo lahko narišejo tudi na številnih drugih krivuljah, kot so elipse in parabole.

Na sliki 1 na levi je krivulja, ki ji pripadata točki A in B. Akord med A in B je zeleni segment. Desno je obod in ena od njegovih strun, saj je mogoče risati neskončnosti.

Slika 1. Levo akord poljubne krivulje in desno pa akord kroga. Vir: Wikimedia Commons.

V obodu je še posebej zanimiv njegov premer, ki je znan tudi kot glavni akord. To je akord, ki vedno vsebuje sredino oboda in meri dvakrat polmer.

Naslednja slika prikazuje polmer, premer, akord in tudi lok oboda. Pri reševanju težav je pomembno pravilno prepoznavanje vsakega posebej.

Slika 2. Elementi oboda. Vir: Wikimedia Commons.

Dolžina akorda kroga

Dolžino akorda lahko v krogu izračunamo iz slik 3a in 3b. Upoštevajte, da je vedno oblikovan trikotnik z dvema enakima stranicama (izosceles): odsekov OA in OB, ki merita R, polmer oboda. Tretja stran trikotnika je segment AB, imenovan C, ki je natančno dolžina akorda.

Potrebno je narisati pravokotno črto na akord C, da bi presekali kot θ, ki obstaja med obema polmeroma in katerega vrh je središče O oboda. To je osrednji kot - ker je njegovo središče v sredini - in bisektorska črta je tudi odsek oboda.

Takoj nastaneta dva desna trikotnika, katerih hipotenuza meri R. Ker bisektor in z njim premer deli akord na dva enaka dela, se izkaže, da je ena od nog polovica C, kot je navedeno v Slika 3b.

Iz opredelitve sinusa kota:

sin (θ / 2) = nasprotna noga / hipotenuza = (C / 2) / R

Tako:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Slika 3. Trikotnik, ki ga tvorita dva polmera in akord oboda, je izosceles (slika 3), saj ima dve enaki strani. Bisektor ga deli na dva desna trikotnika (slika 3b). Vir: pripravil F. Zapata.

Niz izrek

Teorem niza gre takole:

Naslednja slika prikazuje dva akorda istega oboda: AB in CD, ki se sekata v točki P. V akordu AB sta določena odseka AP in PB, v akordu CD pa PD in PD. Torej, glede na izrek:

AP. PB = CP. P.S.

Slika 4. Teorem akorda kroga. Vir: F. Zapata.

Rešene vaje strun

- Vaja 1

Krog ima 48 cm akord, kar je 7 cm od središča. Izračunajte površino kroga in obod oboda.

Rešitev

Za izračun površine kroga A je dovolj poznati polmer oboda, ker je res:

A = π.R ²

Zdaj je slika, ki je oblikovana s predloženimi podatki, pravi trikotnik, katerega noge so 7 oziroma 24 cm.

Slika 5. Geometrija za razrešeno vajo 1. Vir: F. Zapata.

Zato, da bi našli vrednost R ² , Pitagorov izrek c ² = a ² + b ² se uporablja neposredno , saj je R hipotenuza trikotnika:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Zahtevano območje je torej:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Glede na obod ali dolžino L oboda se izračuna z:

L = 2π. R

Nadomestitev vrednosti:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Vaja 2

Določite dolžino akorda kroga, katerega enačba je:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinate sredine točke akorda so znane kot P (17/2; 7/2).

Rešitev

Vmesna točka akorda P ne pripada obodu, ampak končne točke akorda. Problem lahko rešimo s predhodno navedenim teoremom nizov, vendar je najprej priročno napisati enačbo oboda v kanonski obliki, določiti njegov polmer R in njegovo središče O.

1. korak: dobite kanonično enačbo obsega

Kanonična enačba kroga s središčem (h, k) je:

(XH) ² + (yk) ² = R ²

Če ga želite pridobiti, morate izpolniti kvadratke:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Upoštevajte, da sta 6x = 2. (3x) in 14y = 2. (7y), tako da je prejšnji izraz prepisan tako, ostane nespremenjen:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

In zdaj, ko si zapomnite definicijo izjemnega izdelka (ab) ² = a ² - 2ab + b ² , lahko napišete:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Obod ima središče (3,7) in polmer R = √169 = 13. Naslednja slika prikazuje graf oboda in akordov, ki se bodo uporabljali v izrek:

Slika 6. Graf oboda razrešene vaje 2. Vir: F. Zapata s spletnim grafičnim kalkulatorjem Mathway.

2. korak: določite segmente, ki jih želite uporabiti v teoremu nizov

Uporabljena odseka sta struna CD in AB, v skladu s sliko 6, oba sta razrezana v točki P, torej:

CP. PD = AP. PB

Zdaj bomo našli razdaljo med točkama O in P, saj nam bo to dal dolžino OP segmenta. Če tej dolžini dodamo polmer, bomo imeli segment CP.

Razdalja d _OP med dvema koordinatnima točkama (x ₁ , y ₁ ) in (x ₂ , y ₂ ) je:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Z vsemi pridobljenimi rezultati in grafom sestavimo naslednji seznam segmentov (glej sliko 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = dolžina akorda

Nadomestitev v teoremu nizov:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Dolžina vrvice je 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Bi lahko bralec težavo rešil na drug način?

Reference

1. Baldor, A. 2004. Ravninska in vesoljska geometrija s trigonometrijo. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Dolžina akorda. Pridobljeno: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Pridobljeno: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Obnovljeno iz: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedija. Vrv (geometrija). Pridobljeno: es.wikipedia.org.