SFERIČNE KOORDINATE: PRIMERI IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

V sferične koordinate so niz lokacijskih točk v tridimenzionalnem prostoru sestoji iz radialnega usklajuje in dveh kotnih koordinat imenovani polarnih koordinat in usklajuje azimutno.

Slika 1, ki jo vidimo spodaj, prikazuje sferične koordinate (r, θ, φ) točke M. Te koordinate se nanašajo na pravokotni sistem kartezijanskih osi X, Y, Z, ki izvirajo iz O.

Slika 1. Sferične koordinate (r, θ, φ) točke M. (wikimedia commons)

V tem primeru je koordinata r točke M razdalja od te točke do izhodišča O. Polarna koordinata θ predstavlja kot med pozitivno polosno Z in polmernim vektorjem OM. Medtem ko je azimutna koordinata φ kot med pozitivno polosno X in polmerom vektorja OM ', kjer je M' pravokotna projekcija M na ravnino XY.

Radialna koordinata r sprejme le pozitivne vrednosti, če pa je točka na izhodišču, je r = 0. Polarna koordinata θ je za točke, ki se nahajajo na pozitivni pol-osi Z, najmanjša vrednost 0 °, največja vrednost 180 ° za točke pa je na negativni pol-osi Z. Končno ima azimutna koordinata φ najmanjšo vrednost 0 ° in največjo višino 360 °.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Sprememba koordinat

Nato bodo podane formule, ki omogočajo pridobivanje kartezijanskih koordinat (x, y, z) točke M, ob predpostavki, da so sferične koordinate iste točke (r, θ, φ) znane:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Na enak način je koristno najti razmerja, ki gredo od kartezijanskih koordinat (x, y, z) določene točke do sferičnih koordinat omenjene točke:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = arctan (y / x)

Vektorska osnova v sferičnih koordinatah

Iz sferičnih koordinat je določena ortonormalna osnova osnovnih vektorjev, ki jih označujemo z Ur , Uθ , Uφ . Na sliki 1 so prikazani ti trije enoti, ki imajo naslednje značilnosti:

- Ur je enotna vektorska tangenta na radialno črto θ = ctte in φ = ctte;

- Uθ je enotni vektor, tangenta na loku φ = ctte in r = ctte;

- Uφ je enotni vektor tangenta na loku r = ctte in θ = ctte.

Elementi črte in volumna v sferičnih koordinatah

Vektor položaja točke v prostoru v sferičnih koordinatah zapišemo takole:

r = r Ur

Toda neskončno majhno spreminjanje ali premik točke v tridimenzionalnem prostoru, v teh koordinatah, je izraženo z naslednjim vektorskim razmerjem:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Na koncu je zapisan neskončno majhen volumen dV v sferičnih koordinatah:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Ti odnosi so zelo uporabni za izračun integralov linij in volumnov v fizikalnih situacijah, ki imajo sferično simetrijo.

Povezava z geografskimi koordinatami

Geografske koordinate so tiste, ki služijo iskanju krajev na zemeljskem površju. Ta sistem uporablja koordinate zemljepisne širine in dolžine za iskanje položaja na površini Zemlje.

V geografskem koordinatnem sistemu se domneva, da je zemeljska površina sferična s polmerom Rt, čeprav je znano, da je na polovicah sploščeno, in upoštevamo vrsto namišljenih črt, imenovanih vzporednice in meridiani.

Slika 2. Dolžina α in širina β opazovalca na zemeljskem površju.

Širina β je kot, ki ga tvori polmer, ki se začne od središča Zemlje do točke, ki jo želite postaviti. Merimo ga iz ekvatorialne ravnine, kot je prikazano na sliki 2. Po drugi strani je dolžina α kot, ki ga tvori meridian točke, ki se nahaja, glede na ničelni poldnevnik (znan kot Greenwichski meridian).

Širina je lahko severna ali južna širina, odvisno od tega, ali kraj, ki ga nahajate, nahaja na severni ali na južni polobli. Podobno je zemljepisna dolžina lahko zahodna ali vzhodna, odvisno od tega, ali je lokacija zahodna ali vzhodna od ničelnega poldnevnika.

Formule za spreminjanje od geografskih do sferičnih

Za pridobitev teh formul je prva stvar vzpostavitev koordinatnega sistema. Raven XY je izbrana tako, da sovpada z ekvatorialno ravnino, pri čemer je pozitivna X polosna tista tista, ki gre iz središča Zemlje in poteka skozi ničelni poldnevnik. Os Y pa prehaja skozi poldnevnik 90 ° E. Zemljina površina ima polmer Rt.

S tem koordinatnim sistemom so transformacije iz geografskih v sferične videti takole:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Primeri

Primer 1

Geografske koordinate Palma de Mallorca (Španija) so:

Vzhodna dolžina 38.847º in severna širina 39.570º. Za določitev sferičnih koordinat, ki ustrezajo Palmi de Mallorci, se uporabi prva od formul v prejšnjem razdelku:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Torej so sferične koordinate:

Palma de Majorka: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

V prejšnjem odgovoru je bil r vzet kot povprečen polmer Zemlje.

Primer 2

Vedite, da imajo otoki Malvinas (Falkland) geografske koordinate 59 ° O 51,75 ° S, določite ustrezne polarne koordinate. Ne pozabite, da os X poteka od središča Zemlje do poldnevnika 0 ° in v ekvatorialni ravnini; os Y tudi v ekvatorialni ravnini in poteka skozi 90 ° zahodni poldnevnik; končno os Z na Zemljini osi vrtenja v smeri jug-sever.

Da bi potem našli ustrezne sferične koordinate, uporabimo formule, predstavljene v prejšnjem razdelku:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), to je

Malvine: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Vaje

Vaja 1

Poiščite kartezijanske koordinate Palme de Mallorce v XYZ kartezijanskem referenčnem sistemu, prikazanem na sliki 2.

Rešitev: Prej, v primeru 1, smo sferične koordinate dobili iz geografskih koordinat Palme de Mallorce. Zgoraj predstavljene formule je mogoče uporabiti za prehod sferične na kartezijansko:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Z ustreznimi izračuni imamo:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Vaja 2

Poiščite kartezijanske koordinate Falklandskih otokov v kartezijskem referenčnem sistemu XYZ, prikazanem na sliki 2.

Rešitev: Prej, v primeru 2, smo sferične koordinate dobili od geografskih koordinat Malvinskih otokov. Zgoraj predstavljene formule je mogoče uporabiti za prehod sferične na kartezijansko:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Z ustreznimi izračuni dobimo:

Falklandski otoki: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Reference

1. Arfken G in Weber H. (2012). Matematične metode za fizike. Izčrpen vodnik. 7. izdaja Akademski tisk. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Rešeni problemi cilindričnih in sferičnih koordinat. Pridobljeno: računa.cc
3. Delavnica astronomije. Zemljepisna širina in dolžina. Pridobljeno: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sferične koordinate." Iz spleta MathWorld-A Wolfram. Pridobljeno: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sferični koordinatni sistem. Pridobljeno: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorska polja v cilindričnih in sferičnih koordinatah. Pridobljeno: en.wikipedia.com