PRAVOKOTNE SESTAVINE VEKTORJA (Z VAJAMI) - MATEMATIKA - 2026

V pravokotne komponente vektorja so podatki, ki sestavljajo ta vektor. Za njihovo določitev je potrebno imeti koordinatni sistem, ki je na splošno kartezijanska ravnina.

Ko imate vektor v koordinatnem sistemu, lahko izračunate njegove komponente. To sta 2, vodoravna komponenta (vzporedna z osjo X), imenovana "komponenta osi X", in navpična (vzporedna z osjo Y), imenovana "komponenta osi Y".

Grafični prikaz pravokotnih komponent vektorja

Za določitev komponent je treba poznati nekatere podatke vektorja, na primer njegovo velikost in kot, ki ga tvori z osjo X.

Kako določiti pravokotne sestavine vektorja?

Za določitev teh komponent je treba poznati določena razmerja med pravimi trikotniki in trigonometričnimi funkcijami.

Na naslednji sliki lahko vidite ta odnos.

Razmerja med desnimi trikotniki in trigonometričnimi funkcijami

Sinus kota je enak količniku med mero noge, nasproti kota, in mero hipotenuze.

Na drugi strani je kosinus kota enak količniku med mero noge, ki meji na kot, in mero hipotenuze.

Tangenta kota je enaka količniku med mero nasprotne noge in mero sosednje noge.

V vseh teh odnosih je potrebno vzpostaviti ustrezen pravi trikotnik.

Ali obstajajo druge metode?

Da. Način izračuna pravokotnih komponent vektorja se lahko razlikuje glede na podatke, ki jih posredujemo. Drugo široko uporabljeno orodje je pitagorejski teorem.

Vaje

Naslednje vaje izvajajo definicijo pravokotnih komponent vektorja in zgoraj opisanih razmerij.

Prva vaja

Znano je, da ima vektor A velikost 12, kot, ki ga naredi z osjo X, meri 30 °. Določite pravokotne sestavine omenjenega vektorja A.

Rešitev

Če sliko cenimo in uporabimo zgoraj opisane formule, lahko sklepamo, da je komponenta na osi Y vektorja A enaka

greh (30 °) = Vy / 12, in torej Vy = 12 * (1/2) = 6.

Po drugi strani pa imamo, da je komponenta na osi X vektorja A enaka

cos (30 °) = Vx / 12, zato je Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Druga vaja

Če ima vektor A velikost 5 in je komponenta na osi x enaka 4, določite vrednost komponente A na osi y.

Rešitev

Z uporabo pitagorejskega izrekanja je velikost kvadrata vektorja A enaka vsoti kvadratov dveh pravokotnih komponent. To pomeni, da je M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Nadomestitev danih vrednosti morate

5² = (4) ² + (Vy) ², torej 25 = 16 + (Vy) ².

To pomeni, da je (Vy) ² = 9 in posledično Vy = 3.

Tretja vaja

Če ima vektor A velikost 4 in s kotom X naredi 45 °, določite pravokotne sestavine tega vektorja.

Rešitev

S pomočjo razmerij med pravim trikotnikom in trigonometričnimi funkcijami lahko sklepamo, da je komponenta na osi Y vektorja A enaka

sin (45 °) = Vy / 4, in torej Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Po drugi strani pa imamo, da je komponenta na osi X vektorja A enaka

cos (45 °) = Vx / 4, zato je Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Reference

1. Landaverde, FD (1997). Geometrija (Ponatis izd.). Napredek.
2. Leake, D. (2006). Trikotniki (ilustrirano ur.). Heinemann-Raintree
3. Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
4. Ruiz, Á., In Barrantes, H. (2006). Geometrije. Tehnologija CR.
5. Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearsonova vzgoja.